【미분적분학 노트】 13. 미분법: 로그함수의 도함수

 

로그함수

Logarithm Functions

 

로그함수는 지수함수의 역함수로, 어떠한 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱해야 하는 지 나타내는 함수이다.

• 밑을 a라고 했을 때 로그 식에서 a>0, a≠1, y>0이며, x와 y 사이에 y=a^x라는 관계를 만족할 때, x란, a를 밑으로 하는 y의 로그라 하며 식으로는 다음과 같이 쓴다.

위 로그의 정의에서 2가지 중요한 사실이 있다.

1. a가 1이 아닌 이유는 1의 거듭제곱이 모두 1로 계산되기 때문이다. 즉, a를 1로 두면 지수에 어떤 값이 오더라도 1이 되어 무의미하다.
2. x 값의 범위는 모든 실수이다.

【12. 미분법: 지수함수의 도함수】에서 위의 식 y=a^x의 구성요소를 다음과 같이 배웠다.

• a는 밑(base)이다.
• x는 지수(exponent)이다.

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지수함수의 입장에서, 로그가 들어한 함수 x=log_a(y)식은 결국 지수함수에서 지수를 표현하기 위한 방법이다.

그림 1. 로그함수는 지수함수의 역함수이다.

 

로그함수는 결국 지수함수의 역함수[그림 1]이다.

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로그함수 밑에 따른 표현방법

로그함수 밑인 a 자리에 특정한 수가 오는 경우, 각각은 아래와 같이 특별한 기호와 이름을 갖는다.

 

1. a가 2인 경우, 이진로그(binary logarithm)
2. a가 e인 경우, 자연로그(natural logarithm)
3. a가 10인 경우, 상용로그(common logarithm)

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상용로그 log1000이란, 10을 1000으로 만들기 위해 필요한 거듭제곱의 수 a가 얼마인지를 묻는다.

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로그함수의 그래프 특징

로그함수의 핵심은 밑 a인데, 이 a가 어떤 수 범위에 들어가냐에 따라 모양이 매우 달라진다.

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a>1인 경우

 

그림 2

 

밑 a가 1을 초과한 경우, [그림 2]와 같이 단조증가형 그래프가 나타난다.

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또한 극한을 취했을 때, 아래와 같은 값을 갖는다.

 

 

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0<a<1인 경우

그림 3

 

밑 a가 0초과 1 미만 사이의 값을 갖는다면, [그림 3]과 같이 단조감소형 그래프가 나타난다.

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또한 극한을 취했을 때, 아래와 같은 값을 갖는다.

 

 

그림 4. 밑이 1/2인 로그함수

 

밑이 1/2인 로그함수는 [그림 4]와 같이 나타나는데, 이것은 지수함수 (1/2)^x의 역함수이고 y=x 직선함수에 완벽하게 겹친다.

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로그함수의 도함수

Derivative of Log. Functions

 

로그함수 그래프를 보면 어느 지점에서나 미분가능함을 직관적으로 알 수 있는데, 실제 로그함수의 도함수 또한 잘 알려져 있다. 다만 로그함수의 도함수는 '음함수 미분법'이라는 독특한 전략을 통해 그 값이 유도되는데, 이는 음함수 미분법을 공부한 뒤 도함수 식을 증명하도록 하겠다.

• 로그함수에서 상용로그는 자연로그를 분자, 분모에 둔 분수식으로 바꾸어 쓸 수 있다.

 

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우선 자연로그의 그래프는 [그림 5]와 같이 그려지며 이것의 도함수는 다음과 같이 계산된다.

그림 5. 밑이 e인 로그함수(자연로그함수)

 

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자연로그의 도함수

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(1)자연로그의 도함수 식과 (2)자연로그로 변환한 상용로그 관계식을 활용하여 상용로그의 도함수를 구할 수 있다.

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상용로그의 도함수

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PROOF. 상용로그의 도함수

[1] 상용로그는 자연로그로 밑을 변환한 공식으로 다시 쓸 수 있다.

 

 

[2] [과정 1]의 변환 공식에 미분을 취하면 다음과 같이 계산된다.

 

 

[3] [과정 2]의 우변에 있는 항 d[lnx]/dx는 자연로그의 도함수 결과와 정확히 일치하고 이를 대입하면 상용로그의 도함수 결과를 쉽게 얻을 수 있다.

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