【미분적분학 노트】 17. 삼각함수의 극한

삼각함수의 극한 계산은 x(라디안)가 0으로 향할 때, 삼각함숫값이 특정한 값으로 수렴하는 성질을 이용한다.

• 라디안(radian): 반지름이 r인 원에서 호의 길이를 s라 했을 때의 각 θ

즉, 라디안 각도란 호의 길이를 반지름으로 나눈 값이다.

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삼각함수의 극한 계산은 미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 중요하게 활용된다. 특히 아래 3가지 공식은 매우 빈번하게 사용된다.

 

 

여러가지 사인 함수의 극한

 

sinx의 극한

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-|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, sinx의 극한이 성립함을 확인할 수 있다. sinx의 그래프를 그려도[그림 1] 쉽게 직관적으로 알 수 있다.

 

그림 1. x→0에서 sinθ 그래프의 극한값

 

 

sinx/x의 극한

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x 값을 극도록 줄일수록[그림 2] 0.999...로 계산된다.

그림 2

 

 

sinπ/x의 극한

존재하지 않는다.

 

 

x^2(sin(1/x))의 극한

부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면,

 

를 얻을 수 있다.

 

그리고 위의 식에 근거해, squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다.

 

x^2(sin(1/x))의 극한

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여러가지 코사인 함수의 극한

 

그림 3

 

모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|[그림 3]이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성립하고, 극한법칙에 따라 lim_{a→0}cosx=1(식 5)을 유도할 수 있다.

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cosx의 극한

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cosx-1/x의 극한

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여러가지 탄젠트 함수의 극한

 

tanx/x의 극한

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이외에도,

와 같은 탄젠트 함수 관련 극한 값들이 있다.