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개인적 관심사 저장고 - 물리학 - 수학 - 생물학 - 미술

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  • 【미분적분학 1】 Chapter 15. 삼각함수의 극한 미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다. 사인 함수​sinx의 극한 식 1 -|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, 식 1이 성립함을 확인할 수 있다.   sinx/x의 극한식 2 x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다.  sinπ/x의 극한 존재하지 않는다.  x^2(sin(1/x))의 극한 부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면, 식 3 식 3을 얻을 수 있다.  식 4 식 4에 근거해, 식 3에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다.  코사인 함수cosx의 극한  모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 26.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 14. 극한부정형과 로피탈 정리 ​0/0 부정형f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. 식 1 f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다. x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다. EXAMPLE 1.다음 식을 구하시오.식 2 SOLUTION.식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다.  분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자.   답은 2이다.■ EXAMPLE 2.다음 식을 구하시오.□ ∞/∞ 부정형 여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다. 따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다. ∞/∞ 부정형의 .. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 25.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 13. 자연로그 밑 e ​   ​자연로그 밑 e자연로그 밑(natural constant) e는 어떤 로그의 밑이 극한값 식 1로 정의될 때의 밑을 의미하며, 실수 중 무리수에 속하는 초월수(transcendental number; 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수)로 분류된다. 약 2.71828로 근사되는 수로 극한값으로 다음과 같이 표현된다.    u=1/n으로 치환한다면, n→∞일 때 1/n→0이고, e를 식 2로 재정의 할 수 있다.   그래프 표현 함수 f(x)=(1+x)^1/x의 그래프에서 불연속점 (0, e)를 확인할 수 있다.   f(x)=(1+1/x)^x의 그래프에서 점근선 y=e로 나타난다.   e의 역사무리수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어(John Napier, .. 공감수 1 댓글수 0 2024. 11. 24.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 12. 미분법: 새로운 도함수 구하기 새로운 함수가 이전의 함수들을 더하거나 빼거나, 또는 상수배하여 만들어진 것이라면, 그 도함수는 이전의 함수의 도함수에 의해 계산된다.​상수배 법칙 | Constant Multiple Rule  ■​g(x)=cf(x)라 하자.​​합 법칙 | Sum Rule  ■F(x)=f(x)+g(x)라 하자.​​차 법칙 | Difference Rule  ■​차 법칙 역시 합 법칙과 마찬가지로 부호만 바꾸면 같은 방식으로 증명이 가능하다.​EXAMPLE. 상수배, 합, 차​아래 주어진 함수에 대한 도함수를 각각 구하시오. (7문항)   ■​물체의 움직임Motion of an Object n차 도함수는 n-1차 도함수의 변화율과 같으며, 이는 물리학에서 물체의 움직임을 설명하는 운동학과 밀접하다. 위치가 시간의 함수일 때.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 19.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 11. 미분법: 다항함수 도함수 ​[Chapter 4. 도함수 찾기]에서 배운 미분계수의 개념에서 a(점 P의 x값)는 고정된 수였다. 그러나 지금부터는 이 a를 변할 수 있는 값으로 생각한다. 미분계수의 식에 a를 변수 x로 바꾸면, 도함수가 정의된다.​도함수 | Derivative ■​의미: x에서의 f'(x)의 값은 기하학적으로 점 (x, f'(x))에서 f의 그래프에 접하는 접선의 기울기[그림 1]이다.f'(x)는 f의 도함수(derivative of f)로 정의된다.f'(x)의 정의역은 {x | ∃f'(x)}이며, 이 값은 f의 정의역보다 크지 않다.​   EXAMPLE. 도함수함수 f(x)가 아래와 같이 주어졌을 때, f'(x)를 구하시오.  SOLUTION.(1)  (2)​​(3) ​​   ■​위의 계산식은 그 과정이 너무.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 16.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 10. 엡실론-델타 논법 ​17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시(Augustin L. Cauchy, 1789-1857)가 '입실론-델타 논법'을 제시했다.Cauchy는 프랑스의 수학자 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783)의 미적분학에서 아이디어를 얻었다.  ​그는 극한을 다음과 같이 정의했다. 변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때,이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다. 현대의 입실론-델타 논법은 이후, 프러시아 왕국 출신의 독일의 수학자 바이어슈트라스(K.. 공감수 1 댓글수 0 2024. 11. 15.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 9. 삼각함수와 극한 삼각함수(trigonometric function): 각도와 관련된 여러가지 함수삼각함수는 기본적으로 3가지 함수-sine 함수, cosine 함수, tangent 함수-가 있으며, 이들의 역수-cosecant, secant, cotangent-를 모두 합치면 총 6개이다. 삼각함수의 정의   삼각함수는 먼저 직각삼각형[그림 1]을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.   삼각함수의 직각삼각형 정의의 역수는 각각 코시컨트, 시컨트, 그리고 코탄젠트의 정의와 같다. 또한 단위원(unit circle: 반지름 r이 1인 원으로 원점 (0, 0)을 중심으로 한다.)으로 삼각함수를 정의할 수도 있다.   ​반지름을 r이라 둘 때, 각 삼각함수의 정의는 다음과 같이 정리한다. 1. sinθ = y/r2. cosθ .. 공감수 1 댓글수 2 2024. 11. 14.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 8. 적용: 극한의 성질 ​극한 법칙Limit Laws 극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 아래의 성질들을 이용할 수 있다.​극한법칙 | Limit Lawsc가 상수이고, 두 극한 lim_x→a[f(x)], lim_x→a[g(x)]가 존재할 때, 다음의 성질을 만족한다.   ​■또한 극한법칙의 계산 수행 과정에서 아래의 기본극한값(basic limit result)을 활용해야 한다.​기본극한값 | Basic Limit Result  ​■첫 번째 극한값은 y=c 그래프를, 두 번째 극한값은 y=x 그래프를 그리면 그 이유를 쉽게 알 수 있다.​ 직접대입성질f가 다항식이거나 유리함수이고, a가 f의 정의역 내에 존재하면 다음의 성질을 이용할 수 있다.  여러가지 극한법칙과 직접대입성질을 이용하면 다항함수.. 공감수 0 댓글수 1 2024. 11. 13.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 7. 극한의 성질 ​ ​ 극한의 표기  극한은 위와 같이 표기하며, 뜻은 x→a(any real number)일 때, 함수 f(x)→L로 향함을 의미한다.​ 극한의 성질극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 극한의 여러가지 성질을 활용할 수 있다.​1. 상수함수의 극한(constant function rule): 상수함수의 극한 값은 상수(C) 그 자체이다.   2. x→a에서 x의 극한(basic limit result)   3. 샌드위치 정리(squeeze theorem)[그림 1]   함수의 관계가 다음과 같다고 하자. f(x)≤g(x)≤h(x) for all x close to a x=a인 지점을 제외하고, 조건에서 다음 식을 만족한다.  그러므로, ​극한의 사칙연산극한의 사칙연산은 두 개.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 12.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 6. 함수의 연속성 만약,  이면, 함수 f는 x=a에서 연속(continuous)한다. 함수의 연속은 '세 가지 조건'을 포함한다.   "함수 f는 임의의 점 x=a에서 연속이다."라는 명제의 필요충분조건은 위와 같은데, 즉 x=a에서 f의 극한은 존재하며 그 값은 f(a)가 된다. 자연의 많은 현상은 연속적이며, 연속함수로 해석할 수 있다. 예를 들어 물체의 움직임이나 개체 수의 변화는 시간에 따라 연속적으로 변한다.연속적인 점에서 함수 값은 극한 값과 일치한다.  EXAMPLE. 함수의 불연속성   [그림 1] 함수의 그래프를 보고, a, b, 그리고 c 지점의 연속성에 대해 설명하시오. SOLUTION.[1] x=a에서 f(a)가 정의되지 않는다. ⇒ 불연속​[2] x=b에서 f(a)는 색칠된 점으로 정의된다. 그러.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 11.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 5. 극한값의 필요충분조건 극한의 정의Definition of Limits 극한값(극한)이 존재할 수 있는 필요충분조건을 공부하기 위해, 앞선 챕터에서 다룬 극한의 정의를 다시 한 번 정리한다.​극한의 일반적인 정의는 다음과 같다.  x가 a에 접근할 때, f(x)의 값은 L에 가까워지는데, 이때 x≠a임에 유의한다.x를 a에 접근할 때, x=a는 고려하지 않는다. a의 근방에서 함수 f가 어떻게 정의되는 지가 극한 개념의 핵심이다.​구간축소법을 활용해 도함수를 찾는 과정[그림 1]에서 극한은 아래와 같이 이용되었다.   어떠한 그래프 상에서 특정한 지점의 접선을 구할 때, [그림 2]와 같이 x 대신 a, δx 대신 h로 바꾸어 표현하는데, 이때 접선의 일반식은 아래와 같다.​  ​​이때 a는 x축에 놓여진 임의의 수로 다시 a.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 10.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 4. 도함수 찾기 ​ 도함수 찾기 - 구간축소법과 극한Finding a Derivative - SIM and Limits 앞선 챕터에서 배운 내용들을 시작으로, 어떤 함수의 순간 기울기인 도함수(derivative) 개념을 이끌어 내보자.​구간축소법: 어떤 함수의 임의의 점에 대한 실질적인 함수의 변화율은 '구간에서의 평균 변화율'에서 x의 구간(Δx)을 더욱 좁혀나감으로써 f(x)의 한 점에서의 변화율 경향성을 예측할 수 있다. 두 구간의 가장 작은 차이를 증분이라 하고 기호로는 δx로 표현한다.극한: 만약 x가 x축의 a라는 특정 값에 한없이 가까워질 때, 함수값 f(x)는 어떠한 극한 값을 가지게 되고 이를 L 이라는 수로 표현할 수 있는데, 구간축소법의 개념을 적용해 δx가 0에 가깝게 설정될 때, 극한의 기법을 .. 공감수 1 댓글수 0 2024. 11. 9.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 3. 극한과 구간축소법 극한 개념의 발전History of the Concept of Limits  독일의 수학자 헤르만 헹켈(Hermann Hankel, 1839-1873)에 따르면, 현대적인 극한의 개념은 유클리드 원론 제10권 첫 번째 명제(X.1)에서 비롯되었으며, 이는 유클리드와 아르키메데스의 소진법(method of exhaustion)에 기초가 된다.​"Two unequal magnitudes being set out, if from the greater there is subtracted a magnitude greater than its half, and from that which is left a magnitude greater than its half, and if this process is repeat.. 공감수 1 댓글수 0 2024. 11. 8.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 2. 함수의 변화율 ​앞선 챕터에서 우리는 미분적분학에서 핵심적으로 다루는 (1)함수와 (2)접선의 의미를 아래와 같이 공부하였다.함수: 집합 X의 각 원소 x를 집합 Y에 있는 오직 한 원소 f(x)에 대응시키는 일련의 규칙, 원소 x는 독립변수, 함수값 또는 상 f(x)는 종속변수이다.접선: 어떠한 그래프 상에 '한 지점에 접하는 직선', 할선의 기울기의 극한으로 값을 구한다. 미분에 대한 접근Approach to Differentiation  ​[그림 1]을 통해 주어진 함수는 다음과 같이 변화함을 알 수 있다.0~5초: 변화율 없음5~7초: 우상향 변화, y의 변화율은 양의 값을 가짐7~8초: 우상향 변화, 5~7초보다 더욱 급변함8~9초: 우하향 변화, y의 변화율은 음의 값을 가짐9~12초: 우하향 변화, 8~9.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 7.
  • 【미분적분학 1】 Chapter 1. 함수와 접선 ​미분적분학(calculus): 미적분학, 함수로 표현할 수 있는 어떠한 물리량의 '변화'를 분석하는 데 사용되는 수학기법함수(function): 어떠한 집합 X, Y에 대한 함수 f란, 아래를 만족하는 대응관계로 정의한다. [그림 1]임의의 원소(element) x에 대해 그에 대응하는 원소 y가 유일하게 존재한다. 이때 원소 x는 집합 X에 속하고, 원소 y는 집합 Y에 속한다.집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이다.원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of a function) 또는 상(image)이라 한다. 함수값은 f(x)로 표기한다.치역(range): 모든 함수값을 모은 집합으로 f(X)로 표기한다.   즉, 함수 f란, 집합 X의 각 원소 x를 집.. 공감수 0 댓글수 0 2024. 11. 6.
  • [대학수학 - 미분적분학] 10. 삼각함수의 극한과 무한소 미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다. ​ 사인 함수 sinx의 극한 식 1 -|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, 식 1이 성립함을 확인할 수 있다. sinx/x의 극한 식 2 x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다. sinπ/x의 극한 존재하지 않는다. x^2(sin(1/x))의 극한 부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면, 식 3 식 3을 얻을 수 있다. 식 4 식 4에 근거해, 식 3에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다. 코사인 함수 cosx의 극한 모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성립하고.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 8. 31.
  • [대학수학 - 미분적분학] 09. 지수함수의 도함수 자연로그 밑 e 자연로그 밑(natural constant) e는 어떤 로그의 밑이 극한값 식 1로 정의될 때의 밑을 의미하며, 실수 중 무리수에 속하는 초월수(transcendental number; 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수)로 분류된다. 약 2.71828로 근사되는 수로 극한값으로 다음과 같이 표현된다. 식 1 u=1/n으로 치환한다면, n→∞일 때 1/n→0이고, e를 식 2로 재정의 할 수 있다. 식 2 그래프 표현 함수 f(x)=(1+x)^1/x의 그래프에서 불연속점 (0, e)를 확인할 수 있다. f(x)=(1+1/x)^x의 그래프에서 점근선 y=e로 나타난다. e의 역사 무리수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어(John Napier, 1550.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 8. 24.
  • [대학수학 - 미분적분학] 08. 곱미분과 몫미분 곱미분 Product Rule(PR) 함수 f와 g(이전 함수, 구함수)가 모두 미분 가능할 때, 이전 함수를 곱하거나 나눔으로써 얻어지는 새로운 함수의 도함수 역시 구할 수 있다. 곱미분은 구함수를 곱하여 얻은 새로운 함수의 도함수를 구하는 방법을 의미한다. ​ 곱미분 Product Rule - PR ​ ■ 두 함수의 곱의 도함수는 앞의 함수에 뒤의 함수의 도함수를 곱한 값에 뒤의 함수에 앞의 함수의 도함수를 곱한 둘을 더한 값과 같다. ​ 만약 세 함수 f, g, h를 곱한 것을 구한다고 하면 곱미분은 다음과 같이 확장될 수 있다. ​ 확장된 곱미분 ​​ ■ ​ 곱미분의 증명 [1] f(x)와 g(x)는 미분가능한 함수이고, 만약 r=f(x)g(x)라 하면, 이다. ​ [2] 여기서 분자 항에 f(x.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 8. 24.
  • [대학수학 - 미분적분학] 07. 다항함수의 도함수 상수함수 모든 함수 중 상수함수는 가장 간단한 함수의 형태로 다음과 같이 그래프가 나타난다. 상수함수는 y=c의 꼴로 c는 상수(constant)를 뜻한다. 이 상수함수의 도함수는 아래 식과 같다. ​ 상수함수의 도함수 Constant Rule ■ 상수함수의 도함수는 다음과 같이 증명된다. ​ □ 거듭제곱함수 함수 f(x)=x^n의 n이 양의 정수를 가질 때를 생각해보자. 만약 n=1이라면 f(x)=x^1=1이고, 그래프는 f(x)=x=1의 직선형태로 나타날 것이다. 다음 n이 2, 3일 때를 생각해보자. ​ 1) if n=2 □ 2) if n=3 □ ​ 위의 연산을 반복하면 우리는 어떠한 규칙을 얻을 수 있는데, n이 양의 정수일 때 거듭제곱함수의 도함수는 다음과 같다. ​ 양의 거듭제곱 법칙 ■ 양의.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 8. 23.
  • [대학수학 - 미분적분학] 06. 극한의 부정형 계산과 로피탈의 정리 (예제 포함) 0/0 부정형 f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. 식 1 f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다. x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다. EXAMPLE. 다음 식을 구하시오. 식 2 SOLUTION. 식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다. 분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자. 답은 2이다. ■ ∞/∞ 부정형 ​ 여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다. 따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다. ∞/∞ 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 .. 공감수 1 댓글수 0 2023. 8. 20.
  • [대학수학 - 미분적분학] 05. 극한의 성질 극한 법칙 Limit Laws 극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 아래의 성질들을 이용할 수 있다. ​ 극한법칙(Limit Laws) c가 상수이고, 두 극한 lim_x→a[f(x)], lim_x→a[g(x)]가 존재할 때, 다음의 성질을 만족한다. ​ ■ 또한 극한법칙의 계산 수행 과정에서 아래의 기본극한값(basic limit result)을 활용해야 한다. ​ 기본극한값(Basic Limit Result) ​ ■ 첫 번째 극한값은 y=c 그래프를, 두 번째 극한값은 y=x 그래프를 그리면 그 이유를 쉽게 알 수 있다. ​ 직접대입성질 f가 다항식이거나 유리함수이고, a가 f의 정의역 내에 존재하면 다음의 성질을 이용할 수 있다. 여러가지 극한법칙과 직접대입성질을 이용하면.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 8. 19.
  • [대학수학 - 미분적분학] 04. 한 점에서의 변화율과 도함수 도함수 찾기 - 극한과 구간축소법 앞선 [02. 순간변화율의 계산 - 극한과 구간축소법]에서 배운 내용들을 시작으로, 어떤 함수의 순간 기울기인 도함수 개념을 이끌어 내보자. ​​ 구간축소법: 어떤 함수의 임의의 점에 대한 실질적인 함수의 변화율은 '구간에서의 평균 변화율'에서 x의 구간(Δx)을 더욱 좁혀나감으로써 f(x)의 한 점에서의 변화율 경향성을 예측할 수 있다. 두 구간의 가장 작은 차이를 증분이라 하고 기호로는 δx로 표현한다. 극한: 만약 x가 x축의 a라는 특정 값에 한없이 가까워질 때, 함수값 f(x)는 어떠한 극한 값을 가지게 되고 이를 L 이라는 수로 표현할 수 있는데, 구간축소법의 개념을 적용해 δx가 0에 가깝게 설정될 때, 극한의 기법을 활용하면 함수값 f(x)의 특정 극한 값.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 8. 18.
  • [대학수학 - 미분적분학] 03. 심화 - 입실론-델타(엡실론-델타) 논법 17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시(Augustin L. Cauchy, 1789-1857)가 '입실론-델타 논법'을 제시했다. Cauchy는 프랑스의 수학자 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783)의 미적분학에서 아이디어를 얻었다. 그는 극한을 다음과 같이 정의했다. 변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때, 이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다. 현대의 입실론-델타 논법은 이후, 프러시아 왕국 출신의 독일의 수학자 바이어슈트라스(Ka.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 8. 17.
  • 【공업수학】 미분방정식과 모델링 ​ 미분방정식(differential equation): 미지 함수의 도함수를 포함한 방정식으로 미지의 함수 f(x)와 그 도함수 간의 관계성을 나타냄 ① 상미분방정식(ordinary differential equation; ODE): 한 개의 변수에 의존하는 미분방정식 ② 편미분방정식(partial differential equation; PDE): 여러 개의 변수에 의존하는 미분방정식 ​ 모델링(modeling): 관찰한 물리적 상태를 수학적 모델(mathematical model)로 전환하는 일반적인 과정 ​ Mathematical modeling refers to the process of creating a mathematical representation of a real-world scena.. 공감수 1 댓글수 0 2022. 3. 12.
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