Herald-Lab

【미분적분학 노트】 48. 이상적분 ※예제포함

herald-lab — Fri, 17 Jul 2026 22:42:10 +0900

지금까지 배운 적분의 개념은 구간이 유한한 경우에 한정되었다. 하지만 실제 자연계의 현상들 중에는 무한한 영역을 다루어야 하는 상황 또한 존재한다. 예를 들어,

시간이 무한히 흐르는 경우
전기장이나 중력장이 펼쳐진 무한한 공간
확률분포의 정의역이 (-∞, +∞)인 경우

는 무한한 영역을 적분해야 하는 좋은 예시들이다.

그림 1

이상적분(異常積分, improper integral)이란, 적분의 한쪽(상한, 하한) 또는 양쪽 끝이 무한대인 적분을 뜻한다. 계속해서 오염물질을 배출하는 오염원으로부터 바다로 배출하는 총 오염물질의 양을 계산할 때, 오염원이 완전히 없어지지 않는 한은 '무기한'으로 오염물 배출이 발생하므로, 총 오염물질(양)을 계산하는 데 이상적분의 개념이 반드시 들어간다.

만약 오염물질 배출이 통제되면 배출량은 [그림 1]과 같이 감소하는 그래프를 그릴 것이다. 하지만 완벽한 배출 통제는 사실상 불가능하므로 무기한의 오염원 배출은 필연적으로 발생하는데, 이때 총 오염물질 양은 이상적분 기법을 활용하여 다음과 같이 계산한다.

이상적분

Improper Integral

위의 오염원 예제에서 오염원의 총량은 적분 기호를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

적분에서의 하한 1을 오염물질 배출을 통제한 지 1달 후의 양이라 하자.

정적분에서 상하한은 지금까지 숫자였다. 하지만 무한대는 더 이상 숫자가 아니므로,

로 직접 계산하면 안된다. 대신 극한을 이용한다.

큰 수 b 설정

이상적분에서 무한대를 적분하기 위해, 임의의 거대한 숫자 b를 ∞대신 아래와 같이 써보자.

위 식은 평범한 정적분인데, 중요한 사실은 이상적분을 위해 b는 계속 무한을 향해 커진다는 점이다.

정적분 계산

위의 정적분 식을 풀면,

이고, 식을 마저 전개하면,

최종적으로 2-(2/√b)로 계산된다.

극한 취하기: 극한의 존재성 확인

앞선 설명에서 b는 계속 무한을 향해 커진다고 했다. 따라서 b는 [그림 2]와 같이 선택적이다.

그림 2. 이상적분에서 b의 선택성

또한 b의 수는 무한히 큰 수를 가질 수 있으므로,

와 같이 넓이 값 또한 무한히 구할 수 있다.

위의 데이터 값들을 통해 임의의 상한 b가 점점 커질수록 전체 넓이는 2에 수렴함을 알 수 있다. 왜냐하면 상한 b가 포함된 항,

에 극한(무한대 극한)을 취하면,

이기 때문에 결국,

을 계산한 것과 같다.

참고로 무한대의 극한 내용,

과 정확히 같다.

결론적으로 위 이상적분의 정답은,

이다. ⇒ 오염물질의 배출량은 무한대의 시간이 지나더라도 지금과 같은 통제 조건에서는 값 2를 초과한 배출은 결코 일어나지 않는다.

이상적분의 의의와 공식

극한의 개념을 활용하면 적분 구간은 무한하나 전체 넓이는 유한함을 계산할 수 있다. 또한 적분 구간의 무한성은 (1)상한 무한, (2)하한 무한, 그리고 (3)상, 하한 무한이 있다.

위쪽 구간이 무한한 이상적분

■

아래쪽 구간이 무한한 이상적분

■

양쪽 구간이 무한한 이상적분

■

위의 이상적분 공식들에서 a, b, c는 모두 실수다.

그림 3. 아래쪽 구간(하한)이 무한인 경우

예제 1

[그림 3]과 같이 하한이 무한일 때,

를 구하시오.

SOLUTION.

아래쪽 구간이 무한한 이상적분으로 적분을 구해보자.

우선 하한의 큰 수 a를 아래와 같이 설정한 뒤,

정적분을 계산하면,

이고, a에 무한대를 넣으면 1/a항은 0이 되기 때문에 정답은 1/2로 쉽게 계산할 수 있다.

즉, [그림 3]의 면적은 1/2이다.

【미분적분학 노트】 47. 입체도형의 부피 구하기 (feat. 피라미드 부피 공식)

herald-lab — Thu, 16 Jul 2026 13:47:50 +0900

넓이와 부피

Area and Volume

정적분의 넓이를 공부할 때, 우리는 다음 개념을 정성, 정량적으로 학습했다.

정성적 기술: 무수한 선들이 모여 면적을 이루듯 x축의 주어진 구간 x와 함숫값 사이 선분 길이 y[그림 1]를 모두 합하면 전체 구간의 '면적'이 나온다.

그림 1. x축의 dx와 함숫값 f(x)에 의한 선분 길이

정량적 기술: 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속할 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형 넓이 S는 아래와 같은 수식으로 구한다.

그림 2

만약 [그림 2]와 같이 음의 영역(구간 [c, b])이 있다면 f(x)에 절댓값을 붙인다.

정적분의 넓이 공식에서 f(x)는 미소 선분에 관한 함수였다. 이제 이 f(x)를 한 차원 더 높여 미소 넓이를 피적분 함수로 잡아 적분을 해보자.

입체도형의 부피

Determining Volumes

정적분에서 피적분함수가 선분에 관한 함수였을 때, 우리는 넓이를 구할 수 있었다. 같은 논리로 피적분함수가 넓이에 관한 함수면, 우리는 부피를 구할 수 있을 것이다.

그림 3

[그림 3]과 같이 입체 도형이 주어졌을 때 특징은 아래와 같다.

입체도형 단면 넓이 S(x): 위 입체도형에 대해 한 직선을 x축으로 정하여 x좌표가 x(a≤x≤b)인 점을 지나고, x축에 수직한 평면으로 입체를 자른 단면을 단면 넓이 S(x)라 한다.
입체도형의 부피: V, x좌표가 각각 a, b인 점을 지나고 x축에 수직한 두 평면 사이에 있는 부분의 넓이

구간 분할

[그림 4]와 같이 닫힌 구간 [a, b]를 n등분하여 각 분점을,

라 하자. 각각의 작은 구간 길이를 Δx라 하면,

이고, 각 분점의 좌표는,

이다.

그림 4

작은 기둥 부피

[그림 4]의 S(x_k)는 각 소구간에서의 대표점 x_k를 지나고 x축에 수직한 단면 넓이다. 이 넓이를 밑면으로 하고, 높이 Δx인 얇은 기둥으로 근사하면 S(x_k)를 밑면으로 갖는 부피는,

로 계산된다.

전체 기둥 부피(입체도형 부피)로 근사

작은 기둥 형태의 미소 (기둥) 부피 S(x_k)Δx를 n개 합하면, 전체 기둥 부피 또는 입체도형 부피를 근사할 수 있으며 식으로는,

와 같이 쓸 수 있다.

여기서 n의 개수가 증가할수록 각 기둥의 두께는 점점 얇아지고, 근사값은 실제 입체도형 부피에 더욱 가까워진다.

입체도형 부피의 일반식

위의 논리를 정리하면,

정적분으로 입체도형의 부피식이 최종 유도된다.

입체도형의 부피

■

<의미>

V: 구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 지점을 지나고 x축에 수직한 평면으로 자른 단면의 넓이가 S(x)인 입체의 부피
S(x): x에서의 단면의 넓이
dx: 미소 두께
S(x)dx: 미소 두께를 높이로 갖는 얇은 단면의 부피

입체도형의 부피는 닫힌 구간 [a, b]의 임의의 점 x에서 x축에 수직한 평면으로 자른 단면의 넓이 S(x)를 적분한 것이다.

위 내용은 Riemann sum의 극한을 이용한 입체도형의 부피 공식의 가장 기본적인 원리이다.

예제 1

피라미드(삼각뿔) 부피 공식

그림 5. 피라미드

기하학에서 피라미드의 부피 공식은 다음과 같다.

여기서 B는 밑면의 넓이, h는 피라미드의 높이이다.

B는 피라미드의 가장 넓은 밑면적이다.

위의 공식을 입체도형의 부피와 [그림 5]를 활용해 유도하시오.

SOLUTION.

피라미드의 부피를 입체도형의 부피 공식을 활용해 풀기 위해서는 [그림 5]와 같이 좌표축을 설정한 뒤 자른 단면 S(x)를 구해야 한다. 위 피라미드에서 S(x)는 선분의 닮음비를 활용해 구한다.

[그림 5]의 두 번째 그림은 2차원 평면으로 S(x)의 한 변이 되는 s를 나타낸 것으로, 여러 선분 간의 닮은비를 아래와 같이 구할 수 있다.

S(x)는 s^2이므로,

인데, 여기서 A(x)는 피라미드가 갖는 가장 넓은 면적으로 피라미드의 높이이자 전체 적분 구간인 h를 포함한다.

【미분적분학 노트】 46. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 3>

herald-lab — Sun, 12 Jul 2026 01:32:28 +0900

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우

Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases

삼각함수의 곱 형태는 직접 적분하기가 매우 어렵다. 이때 곱을 합(또는 차)으로 변환하는 공식(곱-합 공식, product-to-sum formula(PTS formula))을 사용하면 적분이 매우 쉬워진다.

심화 삼각함수 적분 중 마지막 3가지는 삼각함수의 곱 형태로 나타나는 피적분함수의 적분법이다.

위의 식에서 m와 n은 임의의 상수로, 예를 들어 sin(2x)sin(3x)의 그래프는 다음과 같이 나타난다.

그림 1. sin(2x)sin(3x)의 그래프

전략 8: 피적분함수 sin(mx)sin(nx) 적분 구하기

삼각함수 sin끼리 서로 곱하였을 때, 합 공식,

를 사용한다.

여기서 A=mx, B=nx라 할 수 있으므로,

로 식을 고칠 수 있다.

그림 2. sin(3x)sin(5x)의 그래프

예를 들어,

라는 적분을 풀 때, 피적분함수는 PTS를 통해 다음과 같이 고쳐쓸 수 있다.

다음 각각의 적분은 삼각함수 적분의 기본 공식(부정적분)인,

을 활용하여 푼다.

마지막으로 정리하면,

이다.

전략 9: 피적분함수 cos(mx)cos(nx) 적분 구하기

삼각함수 cos끼리 서로 곱하였는 때, 합 공식,

를 사용한다.

여기서 A=mx, B=nx라 할 수 있으므로,

이다.

그림 3. cos(2x)cos(5x)의 그래프

예를 들어,

를 푼다고 하자.

피적분함수는 PTS를 통해,

와 같이 고쳐쓸 수 있고, 삼각함수 적분의 기본 공식인,

를 다시 한 번 활용하여 적분한다.

마지막으로 정리하면,

로 계산된다.

전략 10: 피적분함수 sin(mx)cos(nx) 적분 구하기

삼각함수 sin과 cos이 서로 곱해졌을 때, 합 공식,

를 사용하는데, 여기서 A=mx, B=nx이므로,

와 같이 피적분함수를 고칠 수 있다.

그림 4. sin(3x)cos(5x)의 그래프

예를 들어,

와 같은 적분을 풀 때, 피적분함수는 sin과 cos의 곱이고, PTS를 쓰면,

이다.

참고로 위 풀이에서는 삼각함수 적분의 기본공식인,

와 sin함수의 특징 중 하나인,

가 사용됐다.

이제 적분을 해주면,

이고 마지막으로 정리하면,

가 계산된다.

3가지 삼각함수 곱 적분형태를 구할 때 필요한 핵심 PTS 공식은 다음과 같다.

또는 조금 더 간단하게,

라고도 쓸 수 있다.

【미분적분학 노트】 45. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 2>

herald-lab — Sat, 11 Jul 2026 09:29:11 +0900

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우

Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases

이전 단원(【44. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 1>】)에서 우리는 삼각함수 n승의 4가지 경우를 살펴보았다.

https://blog.naver.com/moduphysics/224341986959

【미분적분학 노트】 44. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 1>

【26. 삼각함수 부정적분】을 시작으로 우리는 아래와 같은 삼각함수 적분을 이미 배웠다. 위는 삼각함수의...

blog.naver.com

다음 배울 삼각함수의 심화형은 아래와 같은 합성함수 형태이다.

합성된 삼각함수 m, n승(3가지)

합성 삼각함수의 적분 중 먼저,

의 적분 방법에 대해서 알아보자.

1) m이 홀수인 경우

과 같이 m이 홀수인 경우 항등식,

를 활용하여 식을 고친 뒤, 치환하여 푼다. 위의 피적분 함수 중 sin^3(x)는,

로 고칠 수 있고 sin^2(x)에 항등식의 좌변을 대입하면 적분 식은,

이 될 것이다. 이제 cosx를 u로 치환하여 치환적분을 하면,

이고,

으로 계산되어 마지막 u를 복원하면 답은,

로 계산된다.

2) n이 홀수인 경우

합성함수에서 cos의 지수가 홀수인 경우이다.

와 같은 적분이 대표적이며, 마찬가지로 항등식,

을 쓴 뒤 치환을 하여(치환적분법을 사용하여) 적분을 계산한다.

3) m,n이 모두 짝수인 경우

합성함수의 두 지수가 모두 짝수인 경우로,

이면 경험적으로 치환적분이 어렵게 된다. 이때는 반각공식(half-angle formula)을 활용한다.

두 지수가 모두 짝수라면 아래의 반각공식을 상황에 맞게 사용하면 된다. 문제에 따라,

또는

을 여러 번 쓰는 경우도 있다.

예를 들어,

와 같은 문제를 풀 때 첫 번째 반각공식을 활용하여,

와 같이 풀 수 있는데 피적분함수 내의 (cos2x)^2를 cos^2(2x)로 고쳐 다시 반각공식을 취할 수 있다.

다음 적분할 피적분함수는 탄젠트와 시컨트를 포함한다.

삼각함수의 적분은 피적분함수를 간단한 차수로 계산을 가능하게 만드는 전략이 핵심적인데, 탄젠트와 시컨트 계산에는 두 항등식,

을 적절히 사용하는 것이 핵심이다.

예를 들어 단순히 x를 p로 바꾸어,

를 푼다고 할 때, 항등식 적용을 위해 sec(p)tan(p)를 하나 분리한 뒤,

항등식 tan^2(x)p=sec^2(p)-1을 사용한다.

이므로,

로 피적분함수를 고칠 수 있다.

다음 u=sec(p)로 치환하여 치환적분법을 적용한다.

두 사항을 적분식에 대입하면,

이 된다.

u^6를 각 항에 곱해주는 것을 시작으로 단순히 다항식을 적분하면,

이 계산되는데 마지막으로 원래 변수로 복구하기 위해 u를 sec(p)로 바꾸면 최종 정답은,

로 계산된다.

치환 요령

위의 피적분함수 치환에서 요령은 다음과 같다.

1) tan(x)의 지수가 홀수이면, u=sec(x)로 치환한다. 왜냐하면,

이기 때문이다.

2) sec(x)의 지수가 짝수이면, u=tan(x)로 치환한다. 왜냐하면,

이기 때문이다.

위의 피적분함수를 풀이하기 위해 사용할 항등식은,

이다.

위의 ∫tan^m(x)sec^n(x)dx와 마찬가지로 cot^m(x)csc^n(x)의 차수를 짝수로 맞춘 뒤, 항등식을 적용, 치환적분법을 마지막으로 사용하는데, 치환요령은 다음과 같다.

치환 요령

1) cot(x)의 지수가 홀수이면, u=csc(x)로 치환한다. 왜냐하면,

이기 때문이다.

2) csc(x)의 지수가 짝수이면, u=cot(x)로 치환한다. 왜냐하면,

이기 때문이다.

위의 내용을 정리하면 아래 표와 같다.

【미분적분학 노트】 44. 적분법: 삼각함수 적분 <PART 1>

herald-lab — Fri, 10 Jul 2026 00:27:22 +0900

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우

Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases

피적분함수의 형태에 따라 삼각함수 적분의 심화형태는 크게 10가지 경우로 소개된다.

삼각함수 n승(4가지)

삼각함수에 n승이 취해진 함수를 피적분함수로 하여 적분하는 경우는 크게 4가지이다.

1-1) n이 짝수인 경우

첫 번째 sin함수의 n승을 피적분함수로 둘 때로, n이 (1)짝수인 경우와 (2)홀수인 경우로 다시 분류할 수 있다.

우선 짝수인 경우는 아래 두 개 반각공식,

을 활용하여 문제를 푼다.

예를 들어,

에서 sin^4(x)는 제시한 첫 번째 반각공식을 활용하여,

로 풀 수 있는데, 이를 마저 전개하면,

이 된다.

다음 cos^2(2x)는 제시한 두 번째 반각공식을 활용하여,

로 쓸 수 있고 이를 원래 식에 대입하면,

와 같이 괄호 내부를 통분하여 보기 좋게 정리할 수 있다.

이제 각 항이 모두 1차식이 되었으므로 적분이 가능하다.

적분 상수 C를 붙여주면,

로 최종 답이 나온다.

1-2) n이 홀수인 경우

한편 sin함수의 n승의 n이 홀수인 경우는 아래 삼각함수 성질을 사용한다.

예를 들어,

를 푼다고 할 때, sin^3(x)는,

로 쪼개어 질 수 있다. 이후 sin^2(x)를 위의 기본 항등식으로 치환하면 적분 식은,

와 같이 바뀐다.

다음 치환적분을 활용하여, u=cos(x)로 두었을 때,

이고 이를 적분식에 대입하면,

이 된다.

(-du)의 (-)부호를 괄호 안으로 넣으면,

이 된다.

다음 u에 대해 실제 적분을 한 뒤,

원래의 변수 u=cosx로 되돌리면,

로 답을 구할 수 있다.

2)

cos함수의 n승의 경우도 sin함수의 n승 풀이와 마찬가지로 완벽하게 동일한 매커니즘으로 값을 구할 수 있다.

n이 짝수이면, 반각공식을 적용한다. ⇒ sin함수의 풀이에서 나온 두 개의 반각공식을 똑같이 사용한다.
n이 홀수이면, 아래 항등식을 활용한다.

3-1) n이 짝수인 경우

위와 같은 삼각함수를 풀기 위해서, sec^2(x)가 tan(x)의 미분값이라는 점을 활용한다.

아래 기본 항등식을 활용한다.

예를 들어,

와 같은 식을 적분한다고 할 때 sec^4(x)는,

로 분리 가능하고, 위의 항등식을 앞항에 대입해,

로 고쳐쓸 수 있다.

이를 적분식에 대입하면,

이고, 적분 풀이를 위해 u=tan(x)로 치환(치환적분)해준다.

치환적분을 위해 구한 값들을 적분 식에 그대로 대입하면,

이고, 치환한 항을 적분하면,

이 나온다. 마지막으로 u=tan(x)를 다시 복원시키면,

로 구할 수 있다.

3-2) n이 홀수인 경우

만약,

와 같이 n이 홀수라면, n이 짝수일 때의 단순치환이 되지 않는 특징을 갖는다.

따라서 부분적분법을 사용한 뒤 자기 자신을 이항하는 형태로 문제를 풀어야 한다.

적분이 쉬운 형태로 식을 우선 분리한다.

다음 부분적분 공식,

에 적용하기 위해 다음과 같이 값들을 설정한다.

이를 부분적분 공식에 대입하면 아래와 같다.

우변의 두 번째 항을 좀 더 계산하면,

이다.

이제 항등식,

을 대입하자.

좌변과 우변에 모두 구하고자 하는 ∫sec^3(x)dx가 존재하는데, 우변의 항을 좌변으로 이항하여 묶어준다.

다음 ∫sec(x)dx를 구해야 하는데 이는 기본 적분공식으로,

이다.

이 값을 식에 대입하면,

이고, 양변을 2로 나눈 뒤 적분상수를 붙여주면 최종 결과가 나온다.

4)

tan^n(x)는 sec^2(x)과 달리 n의 값이 홀수, 짝수인 것과 상관없이 항등식,

을 활용한다.

만약,

를 풀 경우, tan^2(x)로 분리하는 것으로 계산을 시작한다.

먼저 앞의 항은 치환적분을 활용해 u=tan(x)로 계산하면,

이 최종적으로 나오고,

뒤의 항은 다시 tan(x)tan^2(x)로 쪼개어 공식을 적용한다.

위의 과정을 결합하면,

이다.

그리고 식을 다시 정리하면,

로 적을 수 있다.

위 우변의 두 번째 항을 적분하기 위해서 다시 치환적분을 사용하면,

이고, 세 번째 항은 tan(x)의 기본 적분식인,

로 계산한다.

위의 모든 결과를 종합하여 대입하면,

로 값을 구할 수 있다.

【미분적분학 노트】 43. 적분법: 삼각치환 적분

herald-lab — Tue, 7 Jul 2026 23:39:02 +0900

지금까지 우리는 아래와 같이 적분법(積分法, techniques of integration)을 배워왔다.

기본적분: 다항식, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등을 적분하는 기본 적분 공식 목록 (23강, 25강, 26강, 37강)
치환적분 (28강, 40강)
부분적분 (29강, 30강, 41강)

삼각치환

Trigonometric Substitution

적분법이란, 적분에서의 피적분함수를 간단하게 만드는 방법을 정리한 목록으로 '삼각치환'을 활용한 '삼각치환법' 또한 적분법에 속한다.

삼각치환이란 피적분함수에,

와 같은 루트가 포함되었을 때, 삼각함수의 항등식인,

을 이용하여 식을 간단하게 만드는 방법이다.

예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해서는,

와 같은 형태의 적분을 풀어야 하는데,

그림 1

[그림 1]과 같은 기준 삼각형을 두면, 루트의 x는 (a)(sinθ)로 치환가능하고 이를 적분식에 대입하면 궁극적으로 루트가 사라진다.

삼각치환법의 목적은 치환으로 계산이 어려운 루트 안의 복잡한 식을 삼각형의 성질 및 삼각함수의 항등식을 이용해 단순한 식으로 바꾸는 것이다. ⇒ 루트 속 x의 값을 치환함으로써 피적분함수의 루트가 사라진다.

만약,

와 같은 적분식이 있을 때 x는 위와 같은 논리로,

이고, 이를 루트식 안에 대입해 계산하면,

로 루트가 사라진다.

참고로 sin^2(θ)는 삼각함수 항등식,

을 사용하여 루트 제거 및 식을 간단하게 만들었다.

삼각치환 적분

Integration by Trigonometric Substitution

위의 삼각치환은,

의 형태를 갖는다.

위를 포함하여 삼각치환 적분은 루트 형태에 따라 크게 3가지 형태로 나뉘는데,

이고, 이를 치환하기 위한 x의 값은 아래와 같이 정해져 있다.

첫 번째 경우

에서 삼각함수 항등식,

을 사용하여 치환하기 위한 x의 값,

을 유도한다.

앞의 예제인,

은 √a^2-x^2의 형태로 x의 값은,

이고, θ에 대해 미분하면 dx는,

로 계산된다.

피적분함수의 루트 값은 아래와 같이 정리되는데,

나머지 dx에 대해서도 대입하면,

이 나오고, 반각공식인,

를 사용해 적분 식을 마저 풀어주면,

로 계산할 수 있다.

원래 적분은 x에 대해 물었으므로,

θ를 x에 대해 위와 같이 복원하면 답은,

이다.

위의 문제 풀이를 정리하면 다음과 같다.

[1] 피적분함수의 형태 파악 이후 x구하기

[2] 구한 x를 각도 θ에 대해 미분하기 ⇒ x와 dx를 구한다.

[3] 피적분함수 식에 x와 dx를 대입하여 θ에 대한 적분식 계산 ⇒ 적분 과정에서 반각공식 등 다양한 삼각함수 풀이를 응용한다.

[4] 계산한 적분식의 θ를 x에 대해 복원

두 번째 경우

그림 2

에서 삼각함수 항등식,

를 사용하여 치환하기 위한 x의 값,

를 구한다.

세 번째 경우

그림 3

에서 또한 마찬가지로 삼각함수 항등식,

을 이용하여 치환하기 위한 x의 값,

를 구한다.

삼각치환 적분은 위의 세 가지 경우에 대해 단순 치환으로 계산이 어려운 루트 값을 치환을 방법으로 정리하면 아래와 같다.

삼각치환 적분

■

만약,

와 같은 적분을 풀어야 할 경우, 위의 루트는 √a^2-x^2의 꼴로,

그림 4

[그림 4]와 같은 기준 삼각형(reference triangle)을 정한 뒤, 차례로 문제 풀이에 따라 계산한다.

x=2sinθ이고, dx=2cosθdθ이다.
풀이에서 sin^2(θ)+cos^2(θ)=1의 항등식을 반복적으로 사용했다.
csc(θ)=1/sin(θ)의 삼각함수 관계식을 사용했다.

【미분적분학 노트】 42. 적분의 응용: 누적 변화량 (feat. 누적 강수량)

herald-lab — Sun, 5 Jul 2026 10:58:14 +0900

미적분학에서 적분은 그래프 상에서 면적으로 주로 나타난다. 하지만 적분의 본질적인 의미는 '누적된 변화율로 인한 새로운 양(quantity)을 구하는 것'이다. 그리고 이러한 새로운 양은 크게 6가지로 정리할 수 있다.

면적
곡선 길이
누적 변화량(cumulative change)
평균값(average value)
표면적(surface area)
부피(volume)

모든 응용의 출발점은 미적분학의 기본정리이다.

누적 변화량이란 무엇인가

What is the Cumulative Change?

누적 변화 또는 누적 변화량이란 특정 기간 동안 발생한 모든 변화의 총합으로, 각 시점의 변화량을 이전까지의 합계에 계속 더하는 방식으로 계산하며, 장기적 추세(long-term trends) 및 연속 사건의 잠재적 효과(net effect of compounding events)를 파악하는 데 사용된다.

예를 들어, 어떠한 양 N(t)가 시간 t에 따라 변한다고 하자. 그리고 그 변화율을 r(t)라고 했을 때 r(t)는,

라 쓸 수 있다.

미적분학의 기본정리에 근거해 적분으로 복원하면,

으로 N(t)를 구할 수 있으며, 적분상수 C는 초기조건(initial condition)에 의해 결정된다.

적분상수 C의 초기조건이란 대개 N(t)에서 t=0일 때의 양으로 N(0) 또는 N_0로 쓴다.

누적 변화량(누적 변화)

■

위 식에서 t는 누적 변화가 발생한 최종 시점으로 뜻이 한정되므로, 변화율이 발생하는 동안의 시간은 더미 변수(dummy variable) s로 바꾸었다.

누적 변화 식의 의미는 다음과 같다.

최종값 N(t)는 초기값 N_0에 변화량(적분식)을 더한 것과 같다. ⇒ 따라서 최종값은 초기값에 변화량을 '누적'한 누적 변화(량)이다.
누적 변화 식에서,

는 시간 0부터 현재 시각 t까지 매 순간 s에서의 변화율 r(s)를 모두 더하라는 의미이다.

인구 증가

만약 시간에 따른 인구 증가율이 아래와 같다고 하자.

그리고 초기 인수 N(0)=200[명]일 때, 누적 변화 식을 사용하면,

으로 계산된다.

계속 적분하면,

이고, 최종적으로 N(t)는,

로 계산된다.

N(t)는 시간에 따른 인구의 누적 변화량으로 의미는 다음과 같다.

처음에는 200명인 곳에 시간 t가 흐르면, t^3/6[명]만큼 증가할 것이다.

누적 강수량

만약 비가 오는 속도가,

라고 할 때, 총 강수량 R(t)는 다음과 같이 구할 수 있다. (단, 초기 강수량 R_0는 0이다.)

누적 변화량을 활용해,

라 식을 세울 수 있고 적분을 계산하면,

로 R(t)를 구할 수 있다.

그림 1. 비오는 속도 r(t)와 총 강수량 R(t)

일반적으로 강수량은 [그림 1]의 파란색 그래프와 같이 증감을 반복한다. 하지만 누적 강수량은 빨간색 그래프와 같이 외부 유출이 없는 한 단조 증가 형태 그래프를 띤다.

강수율은 진동하지만 누적 강수량은 외부 유출이 없는 한 단조 증가한다.
총 누적 강수량은 유출입이 없는 환경에서 비가 오는 속도에 의해 결정된다.

【미분적분학 노트】 41. 적분법: 정적분 부분적분 ※예제포함

herald-lab — Sat, 4 Jul 2026 11:15:22 +0900

복습: 부분적분

Review: Integration by Parts

https://blog.naver.com/moduphysics/224312953427

【미분적분학 노트】 29. 적분법: 부분적분 ※예제포함

미분에서의 곱법칙과 부분적분법 부분적분법(integration by parts)은 두 함수 u(x)와 v(x)가 미분가능할 ...

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【29. 적분법: 부분적분】에서 부분적분에 관한 아래 사항들을 학습하였다.

만약 u(x)와 v(x)가 미분가능할 때, 이들은 아래와 같이 적분할 수 있다.

부분적분의 절차

피적분함수가 합성함수일 때 u와 dv를 정한다. 미분을 했을 때 간단해지는 함수를 u로 적분을 했을 때 간단해지는 함수를 dv로 선택하는데, 이때 I LATE 규약을 사용한다. ⇒ 역삼각함수-로그함수-대수함수-삼각함수-지수함수(ILATE)
u, dv를 활용하여 du와 v를 구한다. ⇒ du는 u를 미분한 결과이고, v는 적분한 결과이다.
위의 부분적분 공식에 u, dv, du, v를 모두 대입한다.

부분적분은 풀이에 따라 한 번 더 부분적분을 사용하는 경우도 있는데 예를 들어,

와 같은 적분을 풀 때, u는 x^2으로 두고 dv는 e^xdx로 둔다면 부분적분의 절차 후,

와 같이 결과가 나오는 데, 여기서 두 번째 항은 한 번 더 부분적분을 해주어야 한다. 따라서 u를 x, dv를 e^xdx로 두고 계산하면 최종적으로,

와 같이 적분을 풀 수 있다.

예제 1

아래 적분을 계산하시오.

SOLUTION.

xlnx는 합성함수로 u와 dv를 각각 u=x, dv=lnxdx로 설정한다. 다음 du와 v를 구할 수 있는데 부분적분에 필요한 4가지 값의 결과는,

와 같다. 이제 이 값들을 부분적분 식에 대입하면 아래와 같이 최종 풀이된다.

정적분 부분적분

Integration by Parts for Definite Integrals

만약 두 함수 f(x)와 g(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분가능하면 다음 공식이 성립한다.

위의 식은 곱의 미분법으로 쉽게 증명가능한데 우선,

에 양변을 적분하면,

이고, 미적분학의 기본정리에 의해 우변항이,

로 바뀌며, 이를 대입 후 정리하면,

이 최종 유도된다.

만약 f(x)=u, g(x)=v로 쓰면, 정적분 부분적분의 최종 식은 다음과 같다.

정적분 부분적분

만약 u, v가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분가능할 때, 합성함수는 아래와 같이 적분할 수 있다.

■

부정적분의 부분적분과 마찬가지로 정적분 부분적분 또한 미분할 함수와 적분할 함수를 고르는 것이 중요하다.

합성함수 꼴	미분할 함수	적분할 함수
(다항함수)(지수함수)	다항	지수
(다항함수)(삼각함수)	다항	삼각
(다항함수)(로그함수)	로그	다항
(다항함수)(역삼각함수)	역삼각	다항

예를 들어,

와 같은 식이 있을 때 u는 역삼각함수 tan^-1x를, dv는 dx로 두고 계산한다.

예제 2

위의 역삼각함수를 적분하시오.

SOLUTION.

u와 dv를 설정하였기 때문에 나머지 du와 v를 다음과 같이 구한다.

이제 이 값을 정적분 부분적분 식에 대입하면,

인데, 두 번째 항 적분은 치환을 하여 계산하도록 한다. ⇒ u=x^2+1 설정

마지막으로 이를 대입하여 전체 부분적분 식을 계산하면,

와 같이 값이 나온다.

적분의 결과를 그래프 상 면적으로 나타내면 [그림 1]과 같다.

그림 1

예제 3

다음 적분을 구하시오.

SOLUTION.

[1] u, dv를 우선 설정하고 나머지 du, v를 모두 구한다.

du=dx, v=-cosx

[2] 정적분 부분적분 식에 대입한다.

위의 식은 [그림 2]와 같은 삼각함수의 곡선 값에 따라 0+1이 되므로 최종값은 1이다.

그림 2

【미분적분학 노트】 40. 적분법: 정적분 치환적분 ※예제포함

herald-lab — Thu, 2 Jul 2026 15:19:57 +0900

복습: 치환적분

Review: Integration by Substitution (Substitution Integration)

【28. 적분법: 치환적분】에서 우리는 치환적분을 아래와 같이 배웠다.

https://blog.naver.com/moduphysics/224311412202

만약 u=g(x)가 구간 I를 치역으로 갖는 미분가능한 함수이고, f가 I위에서 또한 연속한다면, 아래 식을 만족한다.

【미분적분학 노트】 28. 적분법: 치환적분

연쇄법칙과 치환적분 연쇄법칙 복습 미분학에서 우리는 합성함수를 미분하는 방법으로 연쇄법칙을 배웠다. ...

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치환적분은 미분법에서의 연쇄법칙 내용과 정확히 호관된다. 즉, 치환법칙은 연쇄법칙의 역과정으로서 증명된다.
치환적분은 상대적으로 복잡하게 보이는 피적분함수를 간단하게 만드는 데 가장 큰 의의가 있다. 올바르게 치환하는 것이 풀이의 핵심이다.

치환적분 풀이

피적분함수가 합성함수일 때, 치환적분의 풀이 순서는 다음과 같다.

올바른 치환 함수(대상) 찾기
du/dx한 값을 g'(x)라 했을 때, du=g'(x)dx와 dx=du/g'(x) 찾기
u를 포함한 내부함수의 적분을 구하고 구한 최종 값의 u를 원래 변수로 복원하기

치환 대상

치환적분은 치환을 찾는 요령이 핵심이고, 크게 다섯 가지를 치환한다.

괄호 내
루트(제곱근) 안
분모
지수함수의 지수값
로그함수

예를 들어, 다음 적분을 푼다고 하자.

[1] 치환적분의 첫 번째 과정은 올바른 치환 대상을 찾는 것으로 괄호 내의 함수 3x+2를 u로 둔다.

[2] 다음 du/dx를 구한 뒤, du와 dx를 아래와 같이 정리한다.

[3] 위 예제 적분 식을 u에 대해 바꾸면,

인데, 이것을 적분하면,

으로 계산된다.

[4] u에 대해 적분 식을 계속 계산하면,

으로 최종 계산되고,

[5] 마지막으로 u를 원래 변수였던 3x+2로 복원한다.

정적분의 치환적분법

Substitution Integration for Definite Integrals

앞서 배운 내용은 '부정적분'의 치환적분법이다. 즉,

와 같이 적분 구간이 정해져 있다면 이는 정적분의 치환적분법으로 풀어줘야 한다.

예제 풀이를 통해 정적분의 치환적분법을 알아보자.

예제 1

위 문제를 치환적분을 이용해 그 값을 구하시오.

SOLUTION.

2x+1을 t로 치환하고,

양변을 x에 대해 미분하면,

를 구할 수 있다.

다음 적분 구간은 원래 x=0에서 x=1이었으나, 이제는 t로 그 값이 치환되어,

이 된다. 변환된 구간의 1과 3은 아래와 같이 구해졌다.

2(0)+1=1
2(1)+1=3

적분 구간이 t에 대해 변경되어, 아래와 같이 식을 풀어쓸 수 있고,

간단한 적분 ∫t^3dt를 마저 구하면,

으로 정답은 10이다.

예제 2

다음 적분을 계산하시오.

SOLUTION.

마찬가지로 위의 피적분 함수는 합성함수로 치환을 통해 계산해준다. 위 지수함수의 치환대상으로 지수를 t로 치환하면,

이고 x에 대해 미분하면,

을 구할 수 있다.

다음 적분구간인 0과 1을 t에 대해 풀어주면 아래와 같다.

치환한 내용과 바뀐 적분 구간을 적으면,

이고, 오른쪽 항의 적분을 계산해주면,

으로 답은 (e-1/e)/2이다.

닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)에 대해 미분가능한 함수 x=g(t)의 도함수 g'(t)가 a=g(α), b=g(β)일 때, α와 β를 포함한 구간에서 연속이라면,

를 만족한다.

정적분 치환적분 풀이

피적분함수가 합성함수이고, 정적분 구간을 가질 때, 정적분 치환적분은 아래와 같은 순서로 풀이한다.

치환: 올바른 치환 함수(대상) 찾기
치환 미분: dt/dx한 값을 g'(x)라 했을 때, dt=g'(x)dx와 dx=dt/g'(x) 찾기
적분 구간 변경: 피적분함수의 초기 구간 a, b를 치환 함수 t에 대입하여, α, β로 바꾼다. ⇒ 정적분에서는 반드시 적분구간도 함께 변경한다.
치환 적분: t를 포함한 내부함수의 적분을 구한다. ⇒ 최종 값의 u를 원래 변수로 복원하기

정적분 치환적분

■

여기서 a, b는,

이다.

【미분적분학 노트】 39. 적용: 용수철과 탄성 퍼텐셜에너지 (feat. 비선형 용수철)

herald-lab — Wed, 1 Jul 2026 11:40:37 +0900

용수철

Spring

그림 1. 용수철 [출처: Wikipedia, "용수철"]

용수철(龍鬚鐵, spring): 진동, 충격 등의 운동 현상을 완화시키는 탄력이 있는 물체(기계 요소)로 일반적으로 [그림 1]과 같이 생겼다. ⇒ 기계적 에너지를 저장할 수 있는 탄성체이다.

인류 역사 속 최초의 용수철은 활과 같은 형태로 사용되었다. 코일 형태의 용수철은 약 15세기경에 등장하였다.
용수철의 코일 모양은 압축되거나 늘어난 이후 원래의 모양으로 돌아올 수 있도록 한다.
탄성한계(elastic limit)을 넘은 힘이 가해지면 이후에는 복원되지 않는다.

잉글랜드의 물리학자인 로버트 훅(Robert Hooke, 1635-1703)이 용수철 길이와 힘 간의 관계식을 발견(1678)하면서 본격적으로 용수철이 수학적으로 분석되었다.

Robert Hooke, 1635-1703

탄성한계와 훅의 법칙 | Elastic Limit and Hooke's Law

탄성한계란, 어떤 물체가 외력을 받아 변형이 되더라도 힘을 제거하였을 때 원래의 모양과 길이로 완전히 되돌아올 수 있는 최대 한계치로, 훅이 발견한 관계식(훅의 법칙)은 elsatic limit 내에서만 성립한다.

그림 2. 탄성체에 가한 힘과 탄성체의 늘어난 길이(extension) 간의 상관관계: elastic limit 전까지는 두 변수가 일정한 기울기를 갖는다.

용수철과 같이 탄성이 있는 물체는, 외력(external force)에 의해 길이가 변형되었을 때 자신의 원래 모습으로 돌아오고자 하는 복원력을 갖는데, 이때 변형의 정도와 복원력 크기 사이에 특수한 관계식이 나타난다.

탄성(elasticity): 금속 용수철이나 고무줄은 외력으로 인해 그 길이가 늘어나거나 줄어들 수 있는데, 이때 원래의 모습으로 돌아오려는 복원력이 작용하고 이를 물체 탄성이라 한다.
용수철은 외력과 늘어난 길이가 서로 비례한 선형 탄성의 전형적인 모델로, [그림 2]와 같이 그래프를 그릴 수 있다.

그림 3. 용수철 신장과 압축 [출처: Wikipedia, "Hooke's law"]

훅의 법칙 | Hooke's Law

■

<의미>

x: 평형상태 x=0으로부터 용수철이 늘어나거나 줄어든 길이(용수철의 길이가 아님), x>0([그림 3]와 같은 구조에서 용수철은 신장), x<0([그림 3]와 같은 구조에서 용수철은 압축), 변화량을 강조하기 위해 Δx로도 쓴다.
k: 용수철 힘 상수
(-)부호: 용수철의 힘 방향은 언제나 평형상태로부터의 변위와 반대임을 의미한다. ⇒ 용수철을 변형시키는 외력에 복원력(restoring force)은 항상 정반대 방향을 갖는다.

용수철이 압축되거나 늘어나지 않을 때, 용수철은 계속 그 상태를 유지하려고 하는데 이를 (용수철의) 평형이라 한다.

용수철의 모양은 압축이나 신장 등의 외부적 변형이 없을 때 가장 온전하다.
용수철의 평형에서 용수철은 외력이 없는 한 평형 위치 x=0으로부터 움직이지 않는다.

훅의 법칙 방향

그림 4. 훅의 법칙 방향

[그림 4]에서 용수철을 (b)와 같이 압축시키면, 용수철의 나중길이(압축)보다 처음길이(평형)가 더 길기 때문에 x는 x<0이다. 따라서 훅의 법칙 식에 x<0를 반영하면 결국 용수철 힘 F_s는 F>0의 양수부호이므로 (+)방향(오른쪽)으로 작용함을 알 수 있다.

같은 논리로 (c)와 같이 용수철을 신장시키면, F_s는 F<0으로 (-)방향(왼쪽)으로 작용한다.

[그림 4]는 x의 부호에 따라 (1)용수철이 늘어났는지(신장) 또는 압축이 되었는지 보여줄 뿐만 아니라, (2)용수철 힘이 어느 방향으로 작용할 지까지 알 수 있다.

용수철 탄성(용수철 힘 상수) | Elasticity of the Spring (Spring Constant)

용수철의 탄성은 훅의 법칙에서 k(용수철 힘 상수)값으로 나타난다. k값이 클수록 탄성이 크고 스프링은 원래 상태로 복원이 잘 된다.

k값이 클수록 용수철의 변형이 어렵다.
k값은 양수 값을 가진다. ⇒ 따라서 아래와 같이 탄성 계수에 절댓값 기호를 취한다.
단위: [N/m]

용수철 변형 | Deformation of the Spring

그림 5. 용수철의 변형: 과압축과 파열 [출처: 「Conducting OPC retargeting as guided by principles of classical dynamics」, Jingyu Wang et al., 2014]

용수철을 변형시킬 때 필요한 힘은 기본적으로 늘어나거나 줄어든 길이 x에 비례한다.

용수철의 복원력은 훅의 법칙을 따르는 동안 그 힘을 -kx만큼 갖는다. 그러나 용수철의 구조가 과압축 또는 파열(rupture)[그림 5]이 되면 복원력을 상실한다.
과압축: 용수철의 원래 길이보다 과도하게 압축하는 경우로 영구 변형 또는 기능을 상실한다.
파열: 용수철의 원래 길이보다 과도하게 신장되는 경우로 과압축과 같이 영구 변형 또는 기능을 상실한다.
용수철의 진동 운동: 용수철에 마찰력이 작용하지 않는다면, (1)최대로 늘어진 용수철은 평형점을 지나 최소로 압축된 지점을 향하게 되고, (2)다시 가장 압축된 용수철은 평형점을 지나 신장될 것이다.

탄성 퍼텐셜에너지

Elastic Potential Energy

용수철을 늘리거나 압축하면 원래 길이로 돌아가려는 복원력이 생기며, 이때 저장되는 에너지를 탄성 퍼텐셜에너지(elastic potential energy)라 한다. 일상에서 볼 수 있는 탄성 퍼텐셜에너지는 예를 들어,

활을 당길 때
자동차의 서스펜션
볼펜 스프링

등으로 다양하게 나타난다.

훅의 법칙으로부터 탄성 퍼텐셜에너지 유도

물리학에서 일(work)이란 외력으로 0에서 x까지 이동시키는 데 든 에너지의 변화량으로,

로 계산할 수 있다.

용수철의 경우, 외력은 복원력의 반대 방향이며, 여기서 F(x)는 용수철을 늘리는 데 들어간 힘으로,

로 쓸 수 있다.

훅의 법칙을 대입하면,

이고, 용수철 상수 k를 적분 식 밖으로 뺀 뒤,

적분한다.

그림 6. 용수철의 탄성 퍼텐셜에너지 [출처: Hyperphysics, "Elastic Potential Energy"]

용수철이 외력에 의해 갖는 potential energy는 [그림 6]의 kx^2/2이며, 이는 elastic limit 범위에서 성립한다.

그림 7

또한 용수철의 potential energy는 [그림 7]과 같이 그래프(힘-변위 그래프)로도 쉽게 도식화 할 수 있다.

비선형 용수철 | Nonlinear Spring

용수철의 이상적 상태는 훅의 법칙을 만족하며 움직이지만, 실제 스프링이나 탄성체에는 그 이상의 변형(deformation)이 발생할 수 있다. 이때 스프링 상태를 비선형 용수철(nonlinear spring)이라 한다. 용수철의 비선형 모델은 비선형 강성(nonlinear stiffness)이라는 새로운 특성이 반영되는데, 자세한 내용은 아래와 같다.

강성(stiffness): 얼마나 변형이 어려운 가를 나타내는 물리량으로 용수철 상수 k 또한 강성 값에 속한다. k값이 100인 용수철 보다 1000인 용수철의 변형이 훨씬 어렵다.
비선형 강성: 마찬가지로 얼마나 변형이 어려운 가를 나타내는 물리량이나 하중(외력)과 변형(변위) 사이의 관계가 더이상 선형으로 나타나지 않는 것[그림 8]이 특징이다.

그림 8. 비선형 강성

비선형 강성이 작용하는 범위의 변형은 용수철의 복원을 급격히 훼손시킨다. 다만 비선형 강성이 작용하는 범위 내에서 파열과 같은 극단적인 상황이 되지 않는 경우 훅의 법칙이 아래와 같이 확장될 수 있다.

<의미>

첫 번째 항: 선형 효과, 훅의 법칙과 같은 꼴
두 번째 항: 비선형 효과, 비선형 강성을 나타내는 계수 α가 추가 되었다.

비선형 강성 범위에서는 그 강성이 더욱 단단해지거나 또는 더욱 부드러워지는 선택적 효과를 갖는다.

강화 용수철(hardening spring): 비선형 항의 α 값이 양수일 경우, 용수철은 변형에 대해 더욱 단단해 진다.
연화 용수철(softening spring): 비선형 항의 α 값이 음수일 경우, 용수철은 변형에 대해 점점 부드러워 진다.

자동차 서스펜션의 경우, 큰 충격을 받을 수록 스프링이 더욱 단단해지도록 설계되어 있다.

위의 확장형 훅의 법칙에 다시 적분을 해주면 비선형 용수철 탄성 퍼텐셜에너지를 구할 수 있다.

단, deformation은 기본적으로 복원력의 효과를 매우 떨어뜨리고, 두 번째 항은 무려 네 제곱을 하기 때문에 그 변화량을 무시할 수 있다.

예를 들어 어떤 탄성체를 20cm를 늘렸을 때 비선형 용수철 상태가 된다면 위의 식을 적용할 수 있고, 특히 두 번째 항의 x에는 0.2[m]를 네 제곱한 0.0016을 대입한다.
비선형 강선 α의 단위는 [N/m^3]이다.