【미분적분학 노트 Ⅱ】 29. 적용: 선형파동방정식 - 팽팽한 줄의 파동 (feat. 줄파 속력 v)

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선형파동방정식(linear wave equation)은 특정한 한 가지 물리 현상에 국한되지 않은 범용적인 방정식이다. 작은 진폭의 파동이 선형적으로 전파되는 물리계를 기술하며, 대표적으로 줄의 파동, 음파, 전자기파 등이 선형파동방정식으로 표현된다.

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그림 1. 장력에 의한 줄의 횡파 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.803]

 

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[그림 1]과 같이 줄을 흔들었을 때 줄파 ψ(x, t)가 생성된다. 이 줄파는 편미분을 통해 (1)공간적으로 파형이 얼마나 휘어 있는지,

와 (2)해당 지점에서의 시간에 따른 변화량인 가속도로,

 

그 값이 변하는데, 이들 둘은 선형파동방정식인,

식 1

 

[식 1]에서 특정 값을 표함한 등식이 된다.

• v: 파동의 전파속력

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예를 들어, 어떤 파동이 +x 방향으로 속력 v만큼 이동하면,

이고, -x 방향으로 같은 조건으로 가면,

로 쓴다.

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장력이 걸린 줄에서의 파동 속력

Wave Speed on a Stretched String

 

선밀도

그림 2. 줄파에서 줄의 질량요소 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.811]

 

파동의 전파속력인 v는 파동이 전파되는 매질의 특성에 따라 달라진다. 예를 들어 기타는 기타줄을 진동하여 소리를 만드는데, 이때 줄에서 전파되는 파동 속력과 파장이 소리의 진동수를 결정한다.

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기타의 각 줄은 서로 다른 굵기를 갖는다. 따라서 줄마다 선밀도가 다르다. 선밀도란 단위 길이당 질량으로,

로 정의한다.

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선밀도

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<의미>

[그림 2]와 같이 어떤 줄의 선밀도가 일정하다면 길이 Δx인 아주 작은 줄의 질량 Δm은 다음과 같이 쓸 수 있다.

줄을 튕겼을 때 일어나는 일

 

그림 3. 튕겨진 줄에 작용한 힘 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.812]

 

[그림 3]과 같이 줄을 튕기면 횡파(transverse wave)가 발생한다. 이 횡파는 +x방향으로 이동하는데, 파동자체는 x방향으로 이동하나 줄의 질량 요소는 수직인 y축 방향으로 진동한다.

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줄에 작용하는 장력은 F_T이며, 횡파 발생시 장력은 줄의 양쪽에서 작용한다. x축인 장력의 성분 벡터는 모두 상쇄되며 따라서 작은 줄의 질량요소에 작용하는 순힘(net force)은 장력의 y성분에 의해 결정된다.

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줄에 작용하는 장력 비교

왼쪽 끝의 각도를 θ_1, 오른쪽 끝의 각도를 θ_2라 하면,

 

이고,

이다.

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여기서 곡선 y(x, t)의 어떤 지점에서의 기울기는,

인데, 왼쪽 끝과 오른쪽 끝을 다시 정리하면,

식 2

이다.

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작은 줄 요소에 작용한 순힘은,

인데, [식 2]의 내용을 F_1과 F_2에 대해 풀면,

식 3

 

이다. [식 3]은 줄의 양 끝에서 기울기가 다를 때 줄의 미소 요소에 순힘이 발생함을 보여준다.

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뉴턴의 운동 제2법칙 적용

뉴턴의 운동 제2법칙인 F=ma에 작은 줄요소의 질량 Δm, 횡방향 가속도 a를 대입한다.

[식 3]의 오른쪽 항은,

식 4

 

이다.

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그리고 [식 4]의 양변에 F_TΔx로 값을 나누면,

식 5

 

[식 5]와 같이 식이 구해지는데, 여기서 Δx를 0으로 보내는 극한을 취하면 왼쪽 항은 공간에 대한 2차 미분이 되며,

식 6

 

[식 6]을 최종적으로 얻는다.

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선형파동방정식과 비교

1차원 선형파동방정식,

에 대해 [식 6]을 대응하면 줄파의 속력 v를 구할 수 있다.

좌변을 v^2로 고치면,

이고, 제곱근을 씌우면 최종적으로 줄파의 속력,

이 나온다.

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줄파 속력

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줄파의 속력은 음수가 될 수 없기 때문에 절대값 기호를 붙였다.

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줄파 속력 식은 다른 파동 속력을 계산하는 데도 큰 힌트를 제공한다.

장력과 선밀도는 각각 물질의 탄성적 성질과 관성적 성질을 반영한다.

일반적으로 매질을 통과하는 파동의 속력은 그 매질의 탄성적 성질(elastic property)과 관성적 성질(inertial property)의 두 값에 의해 결정된다.

• 탄성적 성질: 외부에서 매질을 변형시켰을 때 입자들이 원래의 상태로 되돌아가려는 성질
• 관성적 성질: 외부에서 매질을 변형시켰을 때 입자들이 자신의 운동 상태를 바꾸려는 것에 저항하는 성질