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​변수를 직접 적분하기 어려운 경우, 삼각함수의 성질을 활용하여 변수를 삼각함수로 치환하여 적분(삼각치환적분, integration by trigonometric substitution, ITS)할 수 있다. 예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해선 ∫(√a^2-x^2)dx (단, a>0이다.)와 같은 형태의 적분을 풀어야 한다. 상술한 적분은 ∫x(√a^2-x^2)dx와는 달리 치환이 어려운 적분으로, 만약 x=a sinθ로 치환하여 변수를 θ로 둔다면, 1-sin^2θ=cos^2θ를 써 근호를 제거할 수 있다.  일반적인 치환법칙과 구분하여, x=a sinθ는 다음과 같은 차이점을 갖는다. 1. 역치환(inverse substitution)  2. 역치환한 함수가 일대일이면 역치환이 가능하므로,..

​미분법의 곱법칙(product rule)에 대응되는 부분적분법(integration by parts, IBP)을 알아보자. ※ The IBP [1] Suppose that u(x) and v(x) are differentiable functions.[2] The product rule in terms of differentials gives us: d(uv)=udv+vdu [3] Rearranging the rule, we can write: udv=d(uv)-vdu [4] Integrating both sides with respect to x: ∫udv=uv-∫vdu (integration by parts formula)  부정적분 부분적분  ■  IBP에서 핵심적인 사항은 u와 dv를 적절하게 선..

곡선 함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 방법으로 총 3가지를 알아보았다. 특히, 표본점의 근사식은 곡선의 길이, 입체의 부피, 질량중심, 압력에 의한 힘(force) 등 다양한 물리량을 구하는 문제에 활용된다. 그러므로 이러한 형태의 극한은 특별한 이름과 기호를 붙일 수 있다.  정적분의 정의 | Definition of Definite Integral​단, 극한이 존재하고 표본점을 어떤 식으로 잡더라도 그 값은 서로 동일하다고 가정한다. 그리고 이 극한이 존재할 때 f는 [a, b] 구간에서 적분가능(integrable)이라 한다.■​ 적분법Integration 정적분에 나온 적분기호 ∫(인테그랄, integral)은 적분법에 쓰이는 대표 기호로 각각의 의미를 알아보자.   적분법으로..

앞선 챕터에서 우리는 오른쪽 근사와 왼쪽 근사를 알아보았다. 그리고 서로 다른 끝점에 의해 아래와 같은 대소 관계를 가짐을 확인했다.​이제는 이 아이디어를 확장하여 일반적인 영역 S에 적용할 수 있는 방법론을 알아보자.  [1] 먼저 어떤 함수 f(x)에 의해 생겨난 S에 대해 동일한 폭을 갖는 n개의 직사각형을 [그림 1]과 같이 나눈다. 단, 여기서는 오른쪽 끝점들(right endpoints)로 설정한 면적에 설명을 한정한다.  [2] 구간 [a, b](지점 a에서 b까지의 구간)의 폭 값은 b-a이고, n개의 직사각형 폭이 모두 Δx일 때, Δx는 아래 값을 만족한다.  구간 [a, b]의 전체 길이(폭)는 (n개의 직사각형) x (Δx)의 값과 같다.​[3] 직사각형은 [a, b]에서 n개의 부..

아르키메데스의 소진법Method of Exhaustion ​현대적인 적분 개의 기원은 고대 그리스 시대의 수학자 아르키메데스(Archimedes of Syracuse, B.C. 287 - B.C. 212)가 곡선을 가진 도형의 면적과 부피를 구함에 있어, 오늘날의 적분과 매우 유사한 방법을 사용한 데서 출발한다.아르키메데스의 소진법: 아르키메데스는 [그림 1]과 같이, 포물선을 가로지르는 특정한 직선에 의해 경계를 갖춘 면적(parabolic segment)의 넓이를 구하는 것을 탐구했는데, 이에 대한 해결책으로 그는 [그림 2]와 같은 포물선에 내접한 삼각형 면적을 반복적으로 만들어 나가는 '소진법(消盡法, method of exhaustion)'을 구상했다.​  [그림 2]와 같이 포물선에 내접한 첫..

역도함수 구간 I에서 f(x)가 정의된다고 할 때, F(x)를 f(x)의 역도함수(antiderivative)라 하자. - 구간 I에서 역도함수 F(x)와 f(x)가 정의될 때, f(x)는 역도함수의 도함수로 표현할 수 있다. - F(x)는 f(x)의 역도함수로, x∈I를 만족한다. F(x) 찾기 예를 들어, x^2(f(x))의 역도함수로 x^3/3이 가능함을 계산할 수 있다. 뿐만 아니라 (x^3/3)+5 또는 (x^3/3)-7도 x^2의 역도함수가 됨을 미분표를 활용해 쉽게 확인할 수 있다. - 상수함수의 도함수는 0이다. +5나 -7은 constant로 C로 일반화하여 표현가능하다. f(x)의 antiderivative는 증명 과정에서 본 것처럼 다양한 constant를 가질 수 있으므로, 역도함수..

지금까지 우리는 다양한 피적분함수에 대한 기본적분표 및 적분법(적분전략)을 살펴보았다. 기본적분표 피적분함수의 가장 간단한 형태에 대한 적분 중 특히 부정적분표는 매우 중요하며, 복잡한 형태의 적분의 원활한 풀이를 위해 암기를 요구하기도 한다. 부정적분표를 기본으로 적분의 일반성질 중 아래의 5가지 성질을 특히 주목하도록 한다. 적분의 풀이 부정적분표와 적분의 5가지 일반성질을 기초로 적분은 다음과 같은 풀이과정을 갖는다. [1] 간단한 피적분함수의 유도한다. [2] 치환대상을 찾는다. 피적분함수 내에서 u=g(x)로 치환했을 때, 그것의 미분 du=g'(x)dx가 피적분함수의 인수로 곱해진 함수 g(x)를 찾는 것이 좋다. - 적분전략 중 치환적분법을 사용할 수 있다. [3] 피적분함수의 치환에 실패할..

변수를 직접 적분하기 어려운 경우, 삼각함수의 성질을 활용하여 변수를 삼각함수로 치환하여 적분(삼각치환적분, integration by trigonometric substitution, ITS)할 수 있다. 예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해선 ∫(√a^2-x^2)dx (단, a>0이다.)와 같은 형태의 적분을 풀어야 한다. 상술한 적분은 ∫x(√a^2-x^2)dx와는 달리 치환이 어려운 적분으로, 만약 x=a sinθ로 치환하여 변수를 θ로 둔다면, 1-sin^2θ=cos^2θ를 써 근호를 제거할 수 있다. 일반적인 치환법칙과 구분하여, x=a sinθ는 다음과 같은 차이점을 갖는다. 1. 역치환(inverse substitution) 2. 역치환한 함수가 일대일이면 역치환이 가능하므로, 세타..

미분법의 곱법칙(product rule)에 대응되는 부분적분법(integration by parts, IBP)을 알아보자. ※ The IBP [1] Suppose that u(x) and v(x) are differentiable functions. [2] The product rule in terms of differentials gives us: d(uv)=udv+vdu [3] Rearranging the rule, we can write: udv=d(uv)-vdu [4] Integrating both sides with respect to x: ∫udv=uv-∫vdu (integration by parts formula) 부정적분 부분적분 ■ IBP에서 핵심적인 사항은 u와 dv를 적절하게 선별하는..

곡선함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 방법으로 2가지 근사와 함께 표본점을 이용한 극한 값까지 확인했다. 특히 표본점의 근사식은 곡선의 길이, 입체의 부피, 질중심, 압력에 의한 힘(force) 등 다양한 물리량을 구하는 문제 등에 활용된다. 그러므로 이러한 형태의 극한은 특별한 이름과 기호를 붙일 수 있다. 정적분 ■ 만일 f가 a≤x≤b에서 정의된 연속함수라면, 구간 [a, b]를 동일한 폭 Δx=b-a/n인 n개의 부분 구간들로 나눌 수 있다. x_0=a, x_1, x_1, ..., x_n=b까지를 부분구간들의 끝점으로 두고 x_1*, x_2*, ..., x_n*을 임의의 표본점이라 하면, x_i*는 i번째의 부분구간 [x_i-1, x_i]에 놓이게 된다. 그러면 a에서 b까지의 ..