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다변수 함수Multivariable Functions 다변수 함수(multivariable functions): 둘 이상의 독립변수를 갖는 함수입력값(독립변수)이 두 개 이상인 함수로 다변수 실함수, 다변수 복소함수를 모두 포함한다.물리학에서 발견할 수 있는 대표적인 예는 기체의 압력을 들 수 있다. ⇒ 기체 압력(p)은 부피(V)와 온도(T)에 동시에 영향을 받는다.기하에서 원통(실린더, cylinder)[그림 1]의 부피는 다변수 함수에 해당한다. V식은 원통의 부피로 뚜껑의 반지름과 원통의 높이에 의존함을 뜻한.종속변수는 부피(V)이다.독립변수는 원통의 반지름 r과 원통의 높이 h로 V(r, h)로 부피 식을 표현할 수 있다.​원통의 부피는 두 개의 독립변수에 의해 결정되므로, 이변수 함수라고 ..

지구 표면 근처에서의 중력Gravitation near Earth's Surface 무게 | Weight지표면 근처에서의 자유낙하 가속도는,이다. 뉴턴의 운동 제2법칙에 따르면 중력에 의해 물체에 작용한 힘은,이며, 여기서 W는 물체의 무게(weight)를 뜻한다.​물체의 무게란, 두 물체 사이에 작용하는 만유인력의 또 다른 표현으로, 지구에 의해 물체가 당겨진 중력(값)을 뜻한다.​물체에 무게에 관한 중요한 사실은 물체가 자유낙하를 하지 않아도 무게 값의 중력은 계속해서 작용한다는 점이다.​만유인력 상수 G와 중력 가속도 g의 관계 지구의 질량을 M_E, 물체의 질량을 m, 지구 중심으로부터 떨어진 거리를 r이라 했을 때 뉴턴의 만유인력 법칙으로부터 인력의 크기를,이라 세울 수 있다.​한편 물체의 ..

만유인력의 초기 발견사: 브라마굽타와 코페르니쿠스The History of Gravitation: Brahmagupta and Copericus 인간들은 오래 전부터 물체가 지면을 향해 떨어지는 것에 대해 관심을 가져왔다. 그리고 몇몇의 인물들은 다음과 같은 기록을 남겼다.​먼저 고대 그리스의 철학자 아리스토텔레스(Aristotle, BCE 384-322)는 물체가 가진 본성의 개념(nature of everything)으로 물체의 자유낙하를 이해했다.암석은 지구를 향하려는 본성을 갖는다.불은 하늘을 향하려는 본성을 갖는다.​아리스토텔레스는 물질의 현상을 관찰한 뒤 이들 중 공통적인 자연 현상을 본성으로 규정하였다.​ ​한편, 인도의 수학자이자 천문학자인 브라마굽타(Brahmagupta, 598-665)..

​지금까지 에너지에 관하여 배운 내용은 다음과 같다.만유인력의 법칙: 만유인력의 크기 공식 질량이 각각 M, m인 두 물체 사이의 거리를 r이라 했을 때 만유인력의 크기는 [식 1]과 같다. 여기서 G는 만유인력 상수이다.​일(work) 공식힘 F가 물체의 변위 d만큼 이동시키고, 힘과 변위 사이의 각도가 θ라면 일의 크기[그림 1]는,이다.​만약 힘이 여러 개가 동시에 작용한다면 알짜힘 ∑F를 고려해야 하는데, 변위가 r_1에서 r_2로 발생했다면,라는 dot product 식으로 확장할 수 있다.​ ​운동에너지질량이 m인 물체가 속력 v로 움직일 때 운동에너지는, 이다. 운동 상태에 있는 물체가 갖는 특수한 에너지이다.​일-에너지 정리(work-energy theorem)​알짜힘이 한 일은 물체의 ..

미분방정식(微分方程式)Differential Equation(DE) 일반적인 방정식 2x+3=7은 변하지 않는 미지수인 x를 구하는 문제이다. 그러나 자동차의 위치와 같은 물리량은 시간 t에 따라 변하는 양이며, 위치를 x(t)라고 하면 속도는,가속도는,이며 따라서 뉴턴의 운동 제2법칙은,라는 식으로 쓸 수 있다.​이때 물체에 가한 힘 F는 위치→속도→가속도의 관계를 포함한 미분방정식으로 표현된다. 즉, 실세계에서 미분방정식이란 어떤 물리량 자체와 그 변화율(미분) 사이의 관계를 나타내는 방정식이다.미분방정식에서는 현재의 상태가 어떻게 변화하는 지를 안다면 미래의 상태를 예측할 수 있다고 전제한다.​미분방정식(微分方程式, differential equation): 미지 함수의 도함수를 포함한 방정식으로 ..

0/0 부정형 f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. ​f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다.​x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다.​​EXAMPLE.다음 식을 구하시오. ​SOLUTION.​식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다.​분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자.답은 2이다.​■​ ​∞/∞ 부정형여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다.​따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다.​∞/∞ 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는, f(..

​17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시(Augustin L. Cauchy, 1789-1857)가 '입실론-델타 논법'을 제시했다.Cauchy는 프랑스의 수학자 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783)의 미적분학에서 아이디어를 얻었다. 그는 극한을 다음과 같이 정의했다. 변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때, 이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다. 현대의 입실론-델타 논법은 이후, 프러시아 왕국 출신의 독일의 수학자 바이어슈트라스(..

원심 분리(遠心 分離)Centrifugation 원심 분리 또는 원심 분리법이란, 매개체(매질)의 크기, 모양, 밀도, 점섬, 그리고 로터 속도 등에 따른 원심력을 응용하여 용액 입자를 분리하는 기법이다. 입자는 액체 매질(liquid medium)에 현탁되어 원심분리 튜브(centrifuge tube) 속에 배치되며, 튜브는 [그림 1]과 같이 로터(rotor)에 위치해 특정 속력으로 회전된다.​원심 분리의 절차는 목적에 따라 2가지로 사용법이 나뉘는데,특정 입자를 분리하기 위한 준비침전 입자(침전물, sediment)의 물리적 특성 측정​으로 정리할 수 있다.​원심력 | Centrifugal Force정지해 있는 관성 기준틀(inertial frame)에서 볼 때 등속 원운동을 하는 물체에 작용한 ..

​ ​지구 주위를 도는 인공위성(artificial satellite)은 전 세계의 통신, 전자 교류를 가능하게 만든 과학문명의 위대한 산물 중 하나이며, 이 인공위성을 궤도에 안착시키기 위해 우주공학자들은 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)을 사용한다.​현재 발사된 인공위성의 99% 이상은 지구 주변의 궤도를 돈다.지구 저궤도(low Earth orbit, LEO): 평균 해수면으로부터 고도가 2,000km 이하인 궤도, 대부분의 정찰위성, 지구관측위성, 통신위성 등은 LEO에서 활동한다.지구 중궤도(medium Earth orbit, MEO): 고도 2,000km부터 35,786km 사이의 궤도, GPS와 같은 위성항법시스템 (위성)이 이 궤도에 배치되어 있다.지구 고궤도(high Ea..

​ ​[그림 1]과 같이 반지름 r인 원을 속력 v로 움직이는 질량 m인 입자를 생각해보자.물체의 순간 속도 v는 항상 원의 접선 방향을 향한다. 즉, 이며 이때 벡터 r은 원의 중심에서 물체까지 향하는 반지름 방향 벡터[그림 2]이다.​ ​물체의 속도는 계속 변하지만 속력(speed)은 일정하다.물체의 속도 변화 Δv는 [그림 3]과 같이 기하학적으로 나타낼 수 있고, 속도의 변화는 '가속도' 때문이다. ​구심 가속도Centripetal Acceleration 속도의 크기인 속력은 항상 일정하지만 방향이 계속 변하기 때문에, 이는 '가속도 운동'이며 가속도의 크기는 이미 【미분적분학 노트 Ⅱ - 16. 등속 원운동】을 통해 아래와 같음을 배웠다. 등속 원운동을 야기하는 가속도를 특별히 구심 가속..