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​ 베르누이 미분방정식이란, 스위스의 수학자 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli, 1655-1705)가 고안한 미분방정식의 한 가지 풀이법이다.​베르누이 미분방정식Bernoulli DE 베르누이 미분방정식은 다음과 같은 형태의 1계 비선형 미분방정식이다. n이 0 또는 1인 경우는 대입했을 때, 1계 선형 미분방정식의 풀이로 직접 다룰 수 있기 때문에, 베르누이 미분방정식은 n이 0, 1이 아닌 경우를 대상으로 한다.​n이 0 또는 1이 아닌 정수이면, 베르누이 미분방정식은 '비선형'인데, 이에 대한 해법으로 아래 치환법을 제시했다. [식 1]의 양변을 x에 대해 미분하면, 연쇄법칙에 의해 다음과 같이 계산된다.이 식을 y^(-n)y'에 대해 정리하면, 이다.​치환의 이유원래 식,의 양변을 y..

대부분의 미분방정식은 어떠한 영역에 대해 완전하지 않은 꼴이다. 그러나 0이 아닌 함수를 미분방정식에 곱함으로써 일반적인 미분방정식을 완전미분방정식 꼴로 변형할 수 있다. 이때 완전형(완전미분방정식)으로 바꾸기 위해 사용하는 0이 아닌 함수를 적분인자 μ(x, y)라 한다. 완전미분방정식과 적분인자Exact DE and Integrating Factor 앞선 챕터에서 미분방정식의 완전성을 아래 판별식[식 1]을 통해 확인할 수 있음을 배웠다. 문제는 완전미분방정식이, 일 때,의 경우도 있단 점이다.​이 경우에는 적분인자 μ를 찾아 원래 방정식에 곱함으로써,가 되도록 적분인자를 선택한다.적분인자 μ를 완전미분방정식에 곱하면, 으로 [식 2]를 바꾸어 쓸 수 있는데, M과 N에 적분인자를 곱한 값을,로 정..

1계 미분방정식은 흔히,로 표현한다. 그런데 이를 다음과 같이 변형하여 쓸 수도 있다. 1계 미분방정식의 일반적 정의인 y'만 포함함을 만족하며, [식 1]의 양변에 dx를 곱하면, [식 2]와 같이 나오는데, 이를 완전미분방정식(exact differential equation)의 기본꼴(기본형)이라 한다.​예를 들어,와 같은 식이 있다고 하자. 이를 완전미분방정식으로 표현하려면, (1)양변에 분모를 곱한 뒤, (2)dx를 곱하면 된다. [식 3]은 [식 2]와 정확히 형태가 같으며, M(x, y), N(x, y)는 각각, 이다.​완전성의 확인이전 챕터에서 미분방정식의 완전성(exactness)은 다음 식을 만족할 때라고 했다. [식 3]을 통해 M와 N이 모두 규명되었으므로, 각각을 대입하면,이고,..

미분방정식의 선형성Linearity 예를 들어, 와 같은 미분방정식이 주어질 때, x는 독립변수(independent variable)이고, y는 종속변수(dependent variable)이다. 미분방정식은 항상 독립변수가 변함에 따라 종속변수가 변함을 전제한다.종속변수와 그와 관련한 도함수의 차수가 1차일 때, 1계 선형미분방정식이라 한다.종속변수와 그와 관련한 도함수의 곱이 없을 때, 선형미분방정식으로 분류한다.종속변수의 비선형 함수가 없을 때, 선형미분방정식으로 분류한다. ⇒ 비선형 함수의 대표로 삼각함수가 있다.​1계 미분방정식의 대표적인 선형 형태는, 이다. 여기서 a(x), b(x), c(x)는 x의 함수이다.​a(x)≠0인 구간에서는 [식 1]의 양변을 a(x)로 나누어,라는 표준형으로도 ..

​제차 1계 선형미분방정식​EXAMPLE 1. 제차 1계 선형미분방정식다음 미분 방정식을 풀어보자.[1] 위는 1계 선형미분방정식 표준형에 부합하는 식으로, p(x)=3, q(x)=0이다.​따라서, 변수를 다음과 같이 분리할 수 있다.[2] 각 변에 대해 적분하면,로 답은 y=cCe^-3x이다.​같은 방식으로 제차 1계 선형미분방정식의 일반해,에 대입하여도 같은 값이 나온다.일반해 식을 암기하고 있으면, 변수분리법보다 훨씬 쉽게 조건에 알맞는 미분방정식의 해를 구할 수 있다.​EXAMPLE 2. 제차 1계 선형미분방정식 (2)다음 미분방정식을 풀어보자. 여기서 p(x)=2/x는 x에 대한 함수인데, 이는 a_0(x)/a_1(x)의 형태이기 때문에 x≠0인 구간임을 고려해야 한다.​[1] 우선 변수를 분..

1계 선형미분방정식First-order Linear Differential Equation 미분방정식에서 계(order)란, 미분의 최고 차수로 결정된다. 예를 들어 1계 미분방정식이란,와 같이 y'만 포함한다.​또한 선형(linear)이란, y^2, y^3, √y, sin(y)등을 포함하지 않는,의 일반적인 미분방정식 형태를 띤다.비선형(non-linear): 미분 방정식에서 미지 함수 y가 비선형적으로 등장할 때 이를 비선형으로 구분할 수 있는데 대표적인 y의 비선형적 함수는 다음과 같다.미분방정식의 계수에 x가 들어가는 것은 상관없지만, 위와 같이 선형이 아닌 예가 방정식 안에 포함되어 있다면 이는 비선형 미분방정식이다.1계 선형 미분방정식은 결국 다음과 같이 나타낼 수 있다.​1계 선형미분방정식 ..

RC 회로: 충전과 방전RC Circuit: Charging and Discharging RC회로란, 회로 상 저항기(resistor)와 축전기(capacitor, condenser)가 직렬로 연결된 회로로 [그림 1]과 같은 구조를 갖는다.​ 축전기 충전 RC회로에서 축전기의 충전단계[그림 2]를 분석해보자.스위치 A가 닫혔을 때, 전류 I가 흐르게 되는데, 이때 임의의 시계방향 이동 화살표(파란색)를 회로에 먼저 그린다. ⇒ 회로 소자를 분석하는 데 기준이 되는 화살표로 전류의 방향과 상관없이 임의로 그려도 된다.전류 I는 전지에서의 기전력 ε에 의해 시계방향으로 이동한다.​저항 R과 축전기 C는 전지로부터 나오는 기전력을 소비하고 충전하는 형태로 이용(-)하기 떄문에, 키르히호프의 법칙을 적용하여 ..

​법의학(法醫學, forensic science)에서는, 살인 사건 현장에서의 시체 체온과 주변 온도가 어떻게 변하는 지 이해함으로써 사망 또는 살해 시간을 추정할 수 있다. 그리고 이때 쓰이는 가장 기본적인 수학적 모델이 바로 뉴턴의 냉각법칙(Newton's law of cooling)이다.​살인사건에서 검시관에서 주어지는 데이터는 크게 다음과 같다.사체는 생물의 항상성이 깨진 상태로, 체온이 주변 기온과 같은 온도가 될 때까지 열에너지를 계속 방출할 것이다.피살자는 대개 섭씨 25도씨의 방에 있고, 사망 전까지는 정상적인 체온(섭씨 37도씨)을 유지한다고 가정한다.​ 사망 후 체온하강Postmortem Body Cooling 뉴턴의 냉각법칙에 앞서 우선 인체의 일반적인 체온 하강에 대해 논의하기 위해..

예를 들어, 라는 미분방정식은 변수분리법으로 풀이 가능하고 이를 실제로 적용하면, 를 구할 수 있다. 여기서 y는 적분 상수 C를 포함한 일반해(general solution)인데, C에 어떤 값을 넣느냐에 따라 [그림 1]과 같은 해군(family of solutions)을 얻을 수 있다.​ ​특수해 | Particular Solution임의의 상수를 모두 포함하는 해를 일반해라고 하면, 특정 조건에 의해 특정한 값이 선택되어 질 때, 이 값을 특수해라고 한다. ​[식 1]에 점 (2, 7)을 지나야한다는 조건이 붙는다고 하자. [식 2]에 점 (2, 7)을 대입하면 일반해는,와 같이 변하는데 이때 C를 3이라 구할 수 있다.​C=3을 [식 2]에 대입하면,이 나오는데 이를 특수해(particula..

​ ​탄소(炭素, carbon) 원자의 종류 중 탄소-14는 [그림 1]과 같이 대기 중에서 생성되고, 생물의 탄소 순환과정에 편입된다. 생물이 살아있는 동안에는 외부 환경과 탄소는 계속 교환되지만, 생물이 죽게되면 새로운 탄소-14의 유입이 중단되고, 기존 탄소-14는 방사성 붕괴를 계속한다. 탄소-14는 붕괴하면서 질소-14로 변한다[그림 2].식물이나 동물이 살아있는 동안에는 대기 중 탄소-14가 유기체 내의 탄소-14와 양적 평형을 이룬다. 하지만 사점(死點) 이후 유기체 내의 탄소-14는 신규 유입없이 자연적인 방사성 붕괴로 인해 그 양이 반으로 준다. 이때 양이 반으로 주는 현상 또는 기간을 '반감기(half-life)'라 한다.탄소-14는 안정한 탄소-12에 대한 동위원소(isotope)로 ..