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복습: 미분방정식과 수학적 모델링Differential Equation and Mathematical Modelling 【미분적분학 노트 Ⅱ】의 23강에서 우리는 미분방정식과 수학적 모델링에 대해 간단히 알아 보았다.미분방정식: 미지의 함수와 그 도함수로 구성된 식​예를 들어, 는 함수 y와 그 도함수 dy/dx 사이의 관계를 나타내는 미분방정식[식 1]이다.​이 미분방정식의 해(解, solution) y는, 인데 이를 실제로 미분하면 다시 [식 1]이 나오므로, [식 2]는 해로서 미분방정식을 만족한다.C는 단순 상수로 어떤 상수값을 넣어도 미분 결과는 0이다.미분방정식의 핵심은 도함수 관계를 규명하는 해 y를 찾는 것이다.​미분방정식의 종류상미분 방정식(ordinary differential equa..

​다이버전스(발산, divergence): 벡터 미적분학에 등장하는 벡터 연산자 중 하나로, 계의 한 지점에서 벡터장이 퍼지는 지(발산) 아니면 모여서 사라지는 지(수렴)를 보여준다.divergence는 임의의 한 점(x, y, z)이 있는 공간 내에 벡터장이 퍼지는 지 아니면 모여서 사라지는 지를 나타낸다.벡터장의 발산은 각 점에서의 스칼라 값으로 나타난다.​​다이버전스 | Divergence■의미: 델과 벡터장을 '스칼라곱'한 연산자두 벡터의 스칼라곱이 스칼라량인 것처럼 다이버전스도 스칼라량이다. ⇒ divergence는 델 연산자와 벡터장의 내적으로 스칼라장이다.다이버전스를 구하는 연산은 항상 벡터에 대해서만 작용한다. ⇒ divergence는 벡터장에만 사용할 수 있다.​​만약 벡터 F=라면, P..

​고전역학에서 다루는 많은 물리량은 벡터량으로 분류되고, 많은 공식은 벡터함수의 꼴을 갖는다. 벡터 미적분학(vector calculus)은 2차원 이상의 벡터의 다변수 실해석(실수집합을 다루는 해석학의 한 분야)과 관련한 미적분학의 한 분야로 벡터장 모델을 구현 및 해석하는 데 필수적이다.장(마당, field): 3차원 공간계를 예로 들면, 어떤 함수 중에서 독립변수가 공간의 위치인 좌표 x, y, z를 가지는 함수를 field라고 정의한다. 물리학에서는 중력장, 전기장, 자기장[그림 1] 등이 field의 특성으로 표현된다. 스칼라장과 벡터장Scalar Field and Vector Field 스칼라장스칼라장(scalar field): 특정한 공간 속의 각 점에 대해 스칼라량을 대응시킨 공간장, ..

복습: 연쇄법칙Review: Chain Rule(CR) 연쇄법칙은 합성함수로 표현된 함수의 변화율을 계산하는 미분법이다.​간단한 예로,를 미분한다고 하자. 곱미분과 몫미분으로는 이를 미분하기 어려운데, 대신 중간 변수 u=x^3을 두면,로 고칠 수 있고, x가 아닌 u에 대해 y를 먼저 미분하면,로 쓸 수 있다.​다음 u를 x에 대해 미분하면,인데, 원래 y는 x에 대해 미분해야 함으로 연쇄법칙 공식인,에 대입하여,식 1를 구하고 마지막 u=x^3을 [식 1]의 u자리에 다시 대입하면, 로 구할 수 있다.​즉, 연쇄법칙이란 임의의 매개를 통한 변화율의 연쇄(chain of rates)로, (1)연쇄의 중간 과정인 u를 설정한 뒤, (2)바깥 함수의 변화율 dy/du에 안쪽 함수의 변화율 du/dx를 곱한..

복습: 곱미분과 몫미분Review: Product Rule(PR) and Quotient Rule(QR) 곱미분과 몫미분은 두 함수가 곱한 형태 또는 나누어진 형태일 때의 변화율을 계산하는 규칙(미분법)이다.​곱미분예를 들어, 라는 함수를 x에 대해 미분한다고 할 때,라는 곱미분 공식을 활용하여 풀 수 있다.(첫 번째 함수는 미분하고 두 번째 함수는 그대로 둔 값) + (첫 번째 함수는 그대로 두고 두 번째 함수는 미분한 값)​[식 1]의 함수를 두 개의 함수로 분리하면,이고 이들을 미분한 값은 각각,이다. 이들을 곱미분 식에 대입하면,이다.​만약 세 개 이상의 함수가 곱해진,함수의 곱미분 식은 확장된 곱미분 식을 활용한다.​확장된 곱미분■​확장된 곱미분은 각각의 인자를 한 번씩 미분한 항들을 모두 더한..

​선형파동방정식(linear wave equation)은 특정한 한 가지 물리 현상에 국한되지 않은 범용적인 방정식이다. 작은 진폭의 파동이 선형적으로 전파되는 물리계를 기술하며, 대표적으로 줄의 파동, 음파, 전자기파 등이 선형파동방정식으로 표현된다.​ ​[그림 1]과 같이 줄을 흔들었을 때 줄파 ψ(x, t)가 생성된다. 이 줄파는 편미분을 통해 (1)공간적으로 파형이 얼마나 휘어 있는지,와 (2)해당 지점에서의 시간에 따른 변화량인 가속도로, 그 값이 변하는데, 이들 둘은 선형파동방정식인, [식 1]에서 특정 값을 표함한 등식이 된다.v: 파동의 전파속력​예를 들어, 어떤 파동이 +x 방향으로 속력 v만큼 이동하면,이고, -x 방향으로 같은 조건으로 가면,로 쓴다.​ 장력이 걸린 줄에서의 파동 속력..

1계 편미분함수First-order Partial Derivative 1계 편미분함수란, 두 개 이상의 독립변수를 갖는 다변수함수에 대해 특정 변수 하나만 변하는 것으로 간주하고, 1번만 미분한 도함수를 뜻한다. 예를 들어, z=z(x, y)일 때, z에 대한 1계 편미분함수는 각각,이다.z를 x에 대해 편미분한 값z를 y에 대해 편미분한 값​각각에 대한 미분함수를 구하는 방법은 아래와 같다.특별한 한 점 (x_1, y_1)에서 편미분함수 ∂z/∂x를 계산할 때는 1변수 함수에서와 같이 아래처럼 표현한다. [식 1]은 특정한 지점에서의 편미분 함숫값이다.​ 편미분 방정식Partial Differential Equation, PDE 편미분 방정식은 둘 이상의 독립변수가 관여하는 미지의 함수 및 그 함수들의..

다변수 함수Multivariable Functions 다변수 함수(multivariable functions): 둘 이상의 독립변수를 갖는 함수입력값(독립변수)이 두 개 이상인 함수로 다변수 실함수, 다변수 복소함수를 모두 포함한다.물리학에서 발견할 수 있는 대표적인 예는 기체의 압력을 들 수 있다. ⇒ 기체 압력(p)은 부피(V)와 온도(T)에 동시에 영향을 받는다.기하에서 원통(실린더, cylinder)[그림 1]의 부피는 다변수 함수에 해당한다. V식은 원통의 부피로 뚜껑의 반지름과 원통의 높이에 의존함을 뜻한.종속변수는 부피(V)이다.독립변수는 원통의 반지름 r과 원통의 높이 h로 V(r, h)로 부피 식을 표현할 수 있다.​원통의 부피는 두 개의 독립변수에 의해 결정되므로, 이변수 함수라고 ..

지구 표면 근처에서의 중력Gravitation near Earth's Surface 무게 | Weight지표면 근처에서의 자유낙하 가속도는,이다. 뉴턴의 운동 제2법칙에 따르면 중력에 의해 물체에 작용한 힘은,이며, 여기서 W는 물체의 무게(weight)를 뜻한다.​물체의 무게란, 두 물체 사이에 작용하는 만유인력의 또 다른 표현으로, 지구에 의해 물체가 당겨진 중력(값)을 뜻한다.​물체에 무게에 관한 중요한 사실은 물체가 자유낙하를 하지 않아도 무게 값의 중력은 계속해서 작용한다는 점이다.​만유인력 상수 G와 중력 가속도 g의 관계 지구의 질량을 M_E, 물체의 질량을 m, 지구 중심으로부터 떨어진 거리를 r이라 했을 때 뉴턴의 만유인력 법칙으로부터 인력의 크기를,이라 세울 수 있다.​한편 물체의 ..

만유인력의 초기 발견사: 브라마굽타와 코페르니쿠스The History of Gravitation: Brahmagupta and Copericus 인간들은 오래 전부터 물체가 지면을 향해 떨어지는 것에 대해 관심을 가져왔다. 그리고 몇몇의 인물들은 다음과 같은 기록을 남겼다.​먼저 고대 그리스의 철학자 아리스토텔레스(Aristotle, BCE 384-322)는 물체가 가진 본성의 개념(nature of everything)으로 물체의 자유낙하를 이해했다.암석은 지구를 향하려는 본성을 갖는다.불은 하늘을 향하려는 본성을 갖는다.​아리스토텔레스는 물질의 현상을 관찰한 뒤 이들 중 공통적인 자연 현상을 본성으로 규정하였다.​ ​한편, 인도의 수학자이자 천문학자인 브라마굽타(Brahmagupta, 598-665)..