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【미분적분학 1】 Chapter 14. 극한부정형과 로피탈 정리

​0/0 부정형f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. 식 1 f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다. x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다. EXAMPLE 1.다음 식을 구하시오.식 2 SOLUTION.식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다.  분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자.   답은 2이다.■ EXAMPLE 2.다음 식을 구하시오.□ ∞/∞ 부정형 여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다. 따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다. ∞/∞ 부정형의 ..

​극한 법칙Limit Laws 극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 아래의 성질들을 이용할 수 있다.​극한법칙 | Limit Lawsc가 상수이고, 두 극한 lim_x→a[f(x)], lim_x→a[g(x)]가 존재할 때, 다음의 성질을 만족한다.   ​■또한 극한법칙의 계산 수행 과정에서 아래의 기본극한값(basic limit result)을 활용해야 한다.​기본극한값 | Basic Limit Result  ​■첫 번째 극한값은 y=c 그래프를, 두 번째 극한값은 y=x 그래프를 그리면 그 이유를 쉽게 알 수 있다.​ 직접대입성질f가 다항식이거나 유리함수이고, a가 f의 정의역 내에 존재하면 다음의 성질을 이용할 수 있다.  여러가지 극한법칙과 직접대입성질을 이용하면 다항함수..

​ ​ 극한의 표기  극한은 위와 같이 표기하며, 뜻은 x→a(any real number)일 때, 함수 f(x)→L로 향함을 의미한다.​ 극한의 성질극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 극한의 여러가지 성질을 활용할 수 있다.​1. 상수함수의 극한(constant function rule): 상수함수의 극한 값은 상수(C) 그 자체이다.   2. x→a에서 x의 극한(basic limit result)   3. 샌드위치 정리(squeeze theorem)[그림 1]   함수의 관계가 다음과 같다고 하자. f(x)≤g(x)≤h(x) for all x close to a x=a인 지점을 제외하고, 조건에서 다음 식을 만족한다.  그러므로, ​극한의 사칙연산극한의 사칙연산은 두 개..

극한의 정의Definition of Limits 극한값(극한)이 존재할 수 있는 필요충분조건을 공부하기 위해, 앞선 챕터에서 다룬 극한의 정의를 다시 한 번 정리한다.​극한의 일반적인 정의는 다음과 같다.  x가 a에 접근할 때, f(x)의 값은 L에 가까워지는데, 이때 x≠a임에 유의한다.x를 a에 접근할 때, x=a는 고려하지 않는다. a의 근방에서 함수 f가 어떻게 정의되는 지가 극한 개념의 핵심이다.​구간축소법을 활용해 도함수를 찾는 과정[그림 1]에서 극한은 아래와 같이 이용되었다.   어떠한 그래프 상에서 특정한 지점의 접선을 구할 때, [그림 2]와 같이 x 대신 a, δx 대신 h로 바꾸어 표현하는데, 이때 접선의 일반식은 아래와 같다.​  ​​이때 a는 x축에 놓여진 임의의 수로 다시 a..

​ 도함수 찾기 - 구간축소법과 극한Finding a Derivative - SIM and Limits 앞선 챕터에서 배운 내용들을 시작으로, 어떤 함수의 순간 기울기인 도함수(derivative) 개념을 이끌어 내보자.​구간축소법: 어떤 함수의 임의의 점에 대한 실질적인 함수의 변화율은 '구간에서의 평균 변화율'에서 x의 구간(Δx)을 더욱 좁혀나감으로써 f(x)의 한 점에서의 변화율 경향성을 예측할 수 있다. 두 구간의 가장 작은 차이를 증분이라 하고 기호로는 δx로 표현한다.극한: 만약 x가 x축의 a라는 특정 값에 한없이 가까워질 때, 함수값 f(x)는 어떠한 극한 값을 가지게 되고 이를 L 이라는 수로 표현할 수 있는데, 구간축소법의 개념을 적용해 δx가 0에 가깝게 설정될 때, 극한의 기법을 ..

극한 개념의 발전History of the Concept of Limits  독일의 수학자 헤르만 헹켈(Hermann Hankel, 1839-1873)에 따르면, 현대적인 극한의 개념은 유클리드 원론 제10권 첫 번째 명제(X.1)에서 비롯되었으며, 이는 유클리드와 아르키메데스의 소진법(method of exhaustion)에 기초가 된다.​"Two unequal magnitudes being set out, if from the greater there is subtracted a magnitude greater than its half, and from that which is left a magnitude greater than its half, and if this process is repeat..

극한의 부정형으로 지금까지 0/0 부정형, 그리고 ∞/∞ 부정형을 알아보았다. 이외에도 실전문제에서는 다음과 같은 부정형도 만날 수 있다. - 차 부정형: ∞-∞ 부정형 - 곱 부정형: 0×∞ 부정형 차 부정형의 풀이 차 부정형은 식 1의 형태로 무한대를 그대로 대입하면 연산 결과가 0 또는 무한대로 구해진다. 차 부정형은 식의 종류에 따라 다음 풀이법을 갖는다. 1. 식이 다항식-다항식 꼴이라면, 먼저 최고차항을 묶어주어 계산한다. 식 2는 최고차항이 x^2이므로, 이를 묶어주면 다음과 같이 계산할 수 있다. 2. 식에 무리식이 있다면, 유리화를 해준다. 식 3에 존재하는 무리식을 다음과 같이 풀어 계산할 수 있다. EXAMPLE 1. 다음 식을 구하시오. SOLUTION. ■ 곱 부정형의 풀이 무한소..

미분을 공부함에 있어, 극한(limit)의 개념은 매우 중요하다. 예를 들어, 다음과 같은 극한 식이 있다고 하자. 주어진 식 2.1은 다음과 같이 정의한다. 극한(limit) a와 같진 않으나, a에 충분히 가까운 x 값을 잡으면 L에 얼마든지 가까운 f(x) 값을 얻을 수 있는데, 'x가 a에 접근할 때, f(x)의 극한을 L'이라 한다. ■ The definition of the limit If all values of the functions f(x) approach the real number L as the value of x (not equal to a) approaches the number a, then we can say that the limit of f(x) as x approach..