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단순방정식 Simple Equation 가장 단순한 1차 방정식의 형태는, 이며, 우변은 독립변수만을 포함한 함수이다. - 양변에 dx를 곱한 뒤, 직접 적분을 하면 y는 x의 함수로 나타난다. ​ 1차단순방정식의 풀이 ■ DE의 풀이를 위한 적분표를 다시 상기하도록 하자. EXAMPLE 1. 다음 미분방정식의 일반해를 구하시오. ​ □ 변수분리방정식 Separable Equation simple equation의 우변의 함수 f가 독립변수와 종속변수로 이루어져 있을 때, 같은 1차 미분방정식은 변수분리방정식(separable equation)이라 한다. separable equation은 우선, 1. 위의 형태인 방정식의 양변을 v(y)로 나눈 뒤, 2. 아래의 방정식을 얻고, 3. 이 방정식의 양변을..

미분방정식(differential equation, DE): 미지 함수의 도함수를 포함한 방정식 - 미지의 함수 y=f(x)와 그 도함수 간의 관계를 나타내는 방정식 - 미분방정식의 세 가지 목표 ① 특정한 상황을 표현하는 미분방정식의 발견 ② 이 미분방정식의 정확한 해를 찾음 ③ 찾은 해를 해석하여 미래를 예측함 - 물리학과 공학에서 미분방정식은 동적인 시스템(dynamic system)을 모델링하는 데 일반적으로 활용된다. e.g. 전자와 정공(hole)의 밀도가 시간에 따라 변화하는 반도체 소자 - 미분방정식의 풀이 ​ 가령, 아래와 같은 DE가 있다고 하면, 여기서 미분방정식의 풀이란, x(t)를 구하는 것이다. · 미분방정식의 풀이란, 미분방정식을 만족하는 미지함수, 독립변수의 연속함수인 해를 ..

역도함수 구간 I에서 f(x)가 정의된다고 할 때, F(x)를 f(x)의 역도함수(antiderivative)라 하자. - 구간 I에서 역도함수 F(x)와 f(x)가 정의될 때, f(x)는 역도함수의 도함수로 표현할 수 있다. - F(x)는 f(x)의 역도함수로, x∈I를 만족한다. F(x) 찾기 예를 들어, x^2(f(x))의 역도함수로 x^3/3이 가능함을 계산할 수 있다. 뿐만 아니라 (x^3/3)+5 또는 (x^3/3)-7도 x^2의 역도함수가 됨을 미분표를 활용해 쉽게 확인할 수 있다. - 상수함수의 도함수는 0이다. +5나 -7은 constant로 C로 일반화하여 표현가능하다. f(x)의 antiderivative는 증명 과정에서 본 것처럼 다양한 constant를 가질 수 있으므로, 역도함수..

미분표 미분적분학 개념에서 다룬 미분식들을 표로 정리하면 다음과 같다. - C: a constant and real number - k: a constant and real number - n: real numbers - f, g, u, v: the functions with respect to the real variable x f(x), g(x), u(x), v(x) - a: base a of the exponential and logarithmic functions (단, a>0, a≠1 조건(conditions)을 갖는다.) 상수함수의 도함수 멱의 법칙(power rule) 미분에서의 멱의 법칙은 뉴턴과 라이프니츠가 독립적으로 유도(17세기 중반)했다. 한편 적분에서의 멱의 법칙은 이보다 이른 시..

미적분학에서 f에 대한 2차 도함수(second derivative)은 'f의 도함수에 대한 도함수'를 의미한다. - f'(x)가 미분가능(differentiable)이라면, f(x)에 대한 2차 도함수를 찾을 수 있다. - 2차 도함수는 다음과 같이 표기한다. 2차 도함수는 선형관계(linear relationship)를 만족한다. 2차 도함수의 활용 물리학에서 위치(position)는 시간의 함수로 표현할 수 있다. s(t) 위치를 시간의 함수로 표현할 때, 속도(velocity)는 위치함수의 도함수로 정의한다. 속도 ■ 한편, 속도함수가 연속한다면 이것의 도함수를 구할 수도 있는데, 속도함수의 도함수를 가속도(acceleration)라고 정의한다. 가속도 ■ 마지막으로 가속도의 도함수의 개념으로 가..

x→a일 때, 식 1의 함수 α(x)를 무한소(infinitesimal)라고 부른다. x→a의 조건에서 α(x)와 β(x)를 무한히 작은 크기의 함수라고 할 때, 다음 4가지 극한의 특성을 알아보자. 1. then we can say that the function α(x) is an infinitesimal of higher order than β(x). 2. then, the function α(x) and β(x) are called the infinitesimals of the same order. 3. then, the function α(x) is called an infinitesimal of order n compared with the function β(x). 4. then, the f..

미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다. 사인 함수 sinx의 극한 -|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, 식 1이 성립함을 확인할 수 있다. sinx/x의 극한 x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다. sinπ/x의 극한 존재하지 않는다. x^2(sin(1/x))의 극한 부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면, 식 3을 얻을 수 있다. 식 4에 근거해, 식 3에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다. 코사인 함수 cosx의 극한 모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성립하고, 극한법칙에 따라 lim_{a→..

극한의 부정형으로 지금까지 0/0 부정형, 그리고 ∞/∞ 부정형을 알아보았다. 이외에도 실전문제에서는 다음과 같은 부정형도 만날 수 있다. - 차 부정형: ∞-∞ 부정형 - 곱 부정형: 0×∞ 부정형 차 부정형의 풀이 차 부정형은 식 1의 형태로 무한대를 그대로 대입하면 연산 결과가 0 또는 무한대로 구해진다. 차 부정형은 식의 종류에 따라 다음 풀이법을 갖는다. 1. 식이 다항식-다항식 꼴이라면, 먼저 최고차항을 묶어주어 계산한다. 식 2는 최고차항이 x^2이므로, 이를 묶어주면 다음과 같이 계산할 수 있다. 2. 식에 무리식이 있다면, 유리화를 해준다. 식 3에 존재하는 무리식을 다음과 같이 풀어 계산할 수 있다. EXAMPLE 1. 다음 식을 구하시오. SOLUTION. ■ 곱 부정형의 풀이 무한소..

0/0 부정형 f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다. x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다. EXAMPLE 1. 다음 식을 구하시오. SOLUTION. 식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다. 분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자. 답은 2이다. ■ EXAMPLE 2. 다음 식을 구하시오. □ ∞/∞ 부정형 여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다. 따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다. ∞/∞ 부정형의 함수 f(..

자연로그 밑 e 자연로그 밑(natural constant) e는 어떤 로그의 밑이 극한값 식 1로 정의될 때의 밑을 의미하며, 실수 중 무리수에 속하는 초월수(transcendental number; 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수)로 분류된다. 약 2.71828로 근사되는 수로 극한값으로 다음과 같이 표현된다. u=1/n으로 치환한다면, n→∞일 때 1/n→0이고, e를 식 2로 재정의 할 수 있다. 그래프 표현 함수 f(x)=(1+x)^1/x의 그래프에서 불연속점 (0, e)를 확인할 수 있다. f(x)=(1+1/x)^x의 그래프에서 점근선 y=e로 나타난다. e의 역사 무리수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어(John Napier, 1550~1617, 스..