고차 미분: 2차 도함수

미적분학에서 f에 대한 2차 도함수(second derivative)은 'f의 도함수에 대한 도함수'를 의미한다.

- f'(x)가 미분가능(differentiable)이라면, f(x)에 대한 2차 도함수를 찾을 수 있다.

- 2차 도함수는 다음과 같이 표기한다.

 

2차 도함수의 라이프니츠 표기법와 라그랑주 표기법

 

2차 도함수는 선형관계(linear relationship)를 만족한다.

 

 

2차 도함수의 활용

물리학에서 위치(position)는 시간의 함수로 표현할 수 있다.

 

s(t)

 

위치를 시간의 함수로 표현할 때, 속도(velocity)는 위치함수의 도함수로 정의한다.

 

 

속도

 

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v(t)는 위치-시간 그래프의 접선기울기와 같다.

 

한편, 속도함수가 연속한다면 이것의 도함수를 구할 수도 있는데, 속도함수의 도함수를 가속도(acceleration)라고 정의한다.

 

 

가속도

 

 

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a(t)는 속도-시간 그래프의 접선기울기와 같다.

 

마지막으로 가속도의 도함수의 개념으로 가가속도(jerk; 가속도가 변화하는 정도를 나타낸 물리량)를 정의할 수도 있다.

 

 

가가속도

 

 

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위치함수는 벡터량이므로, 이를 반영해 가속도 식을 쓰면 다음과 같다.

 

 

 

EXAMPLE 1.

다음 함수의 2차 도함수를 구하시오.

 

식 1

 

SOLUTION.

 

먼저, 식 1의 도함수는,

 

식 2

 

이다. 식 2의 도함수가 곧 식 1의 2차 도함수이며 계산하면 답은 6x이다.

 

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