엡실론-델타 논법

17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시가 '입실론-델타 논법'을 제시했다.

 

Augustin Louis Cauchy (1789~1857, 프랑스)

 

그는 극한을 다음과 같이 정의했다.

 

 

"변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때,

 

이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다."

 

 

현대의 입실론-델타 논법은 이후, 독일의 수학자 바이어슈트라스에 의해 최종 정리된다.

 

 

Karl Weierstraß (1815~1897, 독일 - 프러시아 왕국)

 

엡실론-델타 논법

 

Let f(x) be defined for all x≠a over an open interval containing a. Let L be a real number. Then

 

 

if, for every ε>0, there exists a δ>0, such that if 0<|x-a|<δ, then |f(x)-L|<ε.

■

 

 

 

임의의 어떤 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ가 존재하여, such that 이하의 문장을 만족한다면, 함수 f(x)는 x가 a로 다가 갈 때 L로 수렴(converging to L at a)한다.

 

 

다음, such that 이하 문장을 해석하는 방법은 아래와 같다.

 

1. 두 점 a와 b 사이의 거리는 |a-b|로 표현할 수 있다.

2. 엡실론-델타 논법에서 0<|x-a|<δ의 해석

 

(1) x ≠ a

(2) x와 a 사이의 거리는 δ보다 작다.

 

3. 엡실론-델타 논법에서 |f(x)-L|<ε의 해석: |f(x)-L| < ε는 f(x)와 L 사이의 거리는 ε보다 작다는 의미이다.

4. 절댓값에 대한 해석

 

(1) |f(x)-L|<ε은 다음과 같이 풀이할 수 있다.

 

L-ε<f(x)<L+ε

 

|f(x)-L|<ε ⇔ -ε< f(x)-L <ε (절댓값 |a|<b는 -b<a<b로 풀어쓸 수 있다.)

 

-ε+L< f(x)-L+L<ε+L

 

hence,

 

L-ε<f(x)<L+ε

 

 

(2) 0<|x-a|<δ은 다음과 같이 풀이할 수 있다.

 

a-δ<x<a+δ이고 x≠a이다.

x가 a에 가까이 있다.

일반적인 극한식에서 x→a는 x가 a로 '다가간다'고 정성적으로 해석됐다. 그러나 이를 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.

 

- "x→a일 때, f(x)의 극한은 L이다": x가 a에 충분히 가까이 가는 것을 정의함으로써, f(x)와 L간의 간격차가 극도로 작은 어떤 정해진 오차보다 작게 만들어 질 수 있음을 보여야 한다.

- 극한 정의에서 델타와 엡실론의 관계: 모든 오차한계 ε(엡실론)에 대해 f(x)를 L의 엡실론 내에 두게 하려면, x와 a 사이의 가까운 거리 δ(시그마)를 엡실론의 함수로 구하거나 혹은 계산할 수 있음을 증명하면 된다.

 

극한의 정의

 

x와 a사이의 거리 δ를 ε의 함수로 계산할 수 있다면, 모든 ε에 대해 f(x)를 L의 오차 한계 내에 둘 수 있다.

 

 

극한의 엄밀한 정의

 

■

 

극한의 정의는 함수의 극한을 어떻게 구하는 가를 이야기 하지 않는다. 그러나 어떤 값이 극한으로 예상되는 가를 검증한다.

 

집합론 기호로 표현한 엡실론-델타 논법

극한의 엄밀한 정의를 집합론의 기호를 빌려 표현하면 다음과 같다.

 

 

집합론: 엡실론-델타 논법

 

■

 

해석: f(x)가 임의의 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ인 모든 x에 대해 |f(x)-L|<ε을 항상 만족할 때, 함수 f(x)는 x=a에서 극한값 L을 갖는다. 단, f(x)는 x=a를 제외한 a의 근방에서 정의된 함수를 뜻한다.

 

∀: any의 첫 글자로부터 유래한 기호로 '임의의'라는 의미이다.

∃: exist의 첫 글자로부터 유래한 기호로 '존재한다'라는 의미이다.

s.t: such that으로, that 이하의 명제를 만족하는 어떤 것

A ⇒ B: A이면 B이다. A는 B의 조건문으로 A가 참일 때 B이다고 풀어쓸 수 있다.

 

 

1. a-δ<x<a+δ이고 x≠a이다.

2. L-ε<f(x)<L+ε

3. L-ε<f(x)<L+ε의 범위 내에 a-δ<x<a+δ(단, x≠a)의 함숫값들이 포함된다.

- a-δ<x<a+δ의 범위에서 a, a-δ, a+δ를 제외한 나머지 점의 값들은 x가 취할 수 있는 모든 값이고 이것의 상이 바로 f(x)이다.

- L-ε<f(x)<L+ε의 범위에서 L-ε과 L+ε의 점 값은 포함되지 않는다.

 

즉, 엡실론 구간을 먼저 선택했을 때, 엡실론 구간에 포함되는 델타 구간의 존재를 증명함으로써, 극도로 좁은 델타 구간의 함숫값으로서 극한을 정의할 수 있다.