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미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다. 사인 함수​sinx의 극한 식 1 -|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, 식 1이 성립함을 확인할 수 있다.   sinx/x의 극한식 2 x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다.  sinπ/x의 극한 존재하지 않는다.  x^2(sin(1/x))의 극한 부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면, 식 3 식 3을 얻을 수 있다.  식 4 식 4에 근거해, 식 3에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다.  코사인 함수cosx의 극한  모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성..

​0/0 부정형f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. 식 1 f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다. x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다. EXAMPLE 1.다음 식을 구하시오.식 2 SOLUTION.식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다.  분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자.   답은 2이다.■ EXAMPLE 2.다음 식을 구하시오.□ ∞/∞ 부정형 여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다. 따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다. ∞/∞ 부정형의 ..

​   ​자연로그 밑 e자연로그 밑(natural constant) e는 어떤 로그의 밑이 극한값 식 1로 정의될 때의 밑을 의미하며, 실수 중 무리수에 속하는 초월수(transcendental number; 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수)로 분류된다. 약 2.71828로 근사되는 수로 극한값으로 다음과 같이 표현된다.    u=1/n으로 치환한다면, n→∞일 때 1/n→0이고, e를 식 2로 재정의 할 수 있다.   그래프 표현 함수 f(x)=(1+x)^1/x의 그래프에서 불연속점 (0, e)를 확인할 수 있다.   f(x)=(1+1/x)^x의 그래프에서 점근선 y=e로 나타난다.   e의 역사무리수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어(John Napier, ..

새로운 함수가 이전의 함수들을 더하거나 빼거나, 또는 상수배하여 만들어진 것이라면, 그 도함수는 이전의 함수의 도함수에 의해 계산된다.​상수배 법칙 | Constant Multiple Rule  ■​g(x)=cf(x)라 하자.​​합 법칙 | Sum Rule  ■F(x)=f(x)+g(x)라 하자.​​차 법칙 | Difference Rule  ■​차 법칙 역시 합 법칙과 마찬가지로 부호만 바꾸면 같은 방식으로 증명이 가능하다.​EXAMPLE. 상수배, 합, 차​아래 주어진 함수에 대한 도함수를 각각 구하시오. (7문항)   ■​물체의 움직임Motion of an Object n차 도함수는 n-1차 도함수의 변화율과 같으며, 이는 물리학에서 물체의 움직임을 설명하는 운동학과 밀접하다. 위치가 시간의 함수일 때..

​[Chapter 4. 도함수 찾기]에서 배운 미분계수의 개념에서 a(점 P의 x값)는 고정된 수였다. 그러나 지금부터는 이 a를 변할 수 있는 값으로 생각한다. 미분계수의 식에 a를 변수 x로 바꾸면, 도함수가 정의된다.​도함수 | Derivative ■​의미: x에서의 f'(x)의 값은 기하학적으로 점 (x, f'(x))에서 f의 그래프에 접하는 접선의 기울기[그림 1]이다.f'(x)는 f의 도함수(derivative of f)로 정의된다.f'(x)의 정의역은 {x | ∃f'(x)}이며, 이 값은 f의 정의역보다 크지 않다.​   EXAMPLE. 도함수함수 f(x)가 아래와 같이 주어졌을 때, f'(x)를 구하시오.  SOLUTION.(1)  (2)​​(3) ​​   ■​위의 계산식은 그 과정이 너무..

​17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시(Augustin L. Cauchy, 1789-1857)가 '입실론-델타 논법'을 제시했다.Cauchy는 프랑스의 수학자 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783)의 미적분학에서 아이디어를 얻었다.  ​그는 극한을 다음과 같이 정의했다. 변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때,이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다. 현대의 입실론-델타 논법은 이후, 프러시아 왕국 출신의 독일의 수학자 바이어슈트라스(K..

삼각함수(trigonometric function): 각도와 관련된 여러가지 함수삼각함수는 기본적으로 3가지 함수-sine 함수, cosine 함수, tangent 함수-가 있으며, 이들의 역수-cosecant, secant, cotangent-를 모두 합치면 총 6개이다. 삼각함수의 정의   삼각함수는 먼저 직각삼각형[그림 1]을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.   삼각함수의 직각삼각형 정의의 역수는 각각 코시컨트, 시컨트, 그리고 코탄젠트의 정의와 같다. 또한 단위원(unit circle: 반지름 r이 1인 원으로 원점 (0, 0)을 중심으로 한다.)으로 삼각함수를 정의할 수도 있다.   ​반지름을 r이라 둘 때, 각 삼각함수의 정의는 다음과 같이 정리한다. 1. sinθ = y/r2. cosθ ..

​극한 법칙Limit Laws 극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 아래의 성질들을 이용할 수 있다.​극한법칙 | Limit Lawsc가 상수이고, 두 극한 lim_x→a[f(x)], lim_x→a[g(x)]가 존재할 때, 다음의 성질을 만족한다.   ​■또한 극한법칙의 계산 수행 과정에서 아래의 기본극한값(basic limit result)을 활용해야 한다.​기본극한값 | Basic Limit Result  ​■첫 번째 극한값은 y=c 그래프를, 두 번째 극한값은 y=x 그래프를 그리면 그 이유를 쉽게 알 수 있다.​ 직접대입성질f가 다항식이거나 유리함수이고, a가 f의 정의역 내에 존재하면 다음의 성질을 이용할 수 있다.  여러가지 극한법칙과 직접대입성질을 이용하면 다항함수..

​ ​ 극한의 표기  극한은 위와 같이 표기하며, 뜻은 x→a(any real number)일 때, 함수 f(x)→L로 향함을 의미한다.​ 극한의 성질극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 극한의 여러가지 성질을 활용할 수 있다.​1. 상수함수의 극한(constant function rule): 상수함수의 극한 값은 상수(C) 그 자체이다.   2. x→a에서 x의 극한(basic limit result)   3. 샌드위치 정리(squeeze theorem)[그림 1]   함수의 관계가 다음과 같다고 하자. f(x)≤g(x)≤h(x) for all x close to a x=a인 지점을 제외하고, 조건에서 다음 식을 만족한다.  그러므로, ​극한의 사칙연산극한의 사칙연산은 두 개..

만약,  이면, 함수 f는 x=a에서 연속(continuous)한다. 함수의 연속은 '세 가지 조건'을 포함한다.   "함수 f는 임의의 점 x=a에서 연속이다."라는 명제의 필요충분조건은 위와 같은데, 즉 x=a에서 f의 극한은 존재하며 그 값은 f(a)가 된다. 자연의 많은 현상은 연속적이며, 연속함수로 해석할 수 있다. 예를 들어 물체의 움직임이나 개체 수의 변화는 시간에 따라 연속적으로 변한다.연속적인 점에서 함수 값은 극한 값과 일치한다.  EXAMPLE. 함수의 불연속성   [그림 1] 함수의 그래프를 보고, a, b, 그리고 c 지점의 연속성에 대해 설명하시오. SOLUTION.[1] x=a에서 f(a)가 정의되지 않는다. ⇒ 불연속​[2] x=b에서 f(a)는 색칠된 점으로 정의된다. 그러..