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​부분분수 적분은 피적분함수가 유리함수(분자와 분모가 다항식으로 이루어진 함수)꼴인 함수를 쉽게 적분하는 전략이다. 식 19.1 식 19.1의 피적분함수는 유리함수이고, 이 유리함수는 인수분해를 통해 간단한 분수의 합(식 19.2)으로 나타낼 수 있다. 식 19.2 식 19.2를 연산하면 식 19.1의 피적분함수를 다시 구할 수 있고, 이 과정의 역(역과정)이 즉 부분분수분해(Partial Fraction Decomposition)이다.  분수의 구분유리함수는 일반적으로 다음과 같이 표현한다.  여기서 P와 Q는 다항식으로 P의 차수(degree)가 Q의 차수보다 작을 때, f는 더 간단한 분수의 합으로 표현된다.- 진유리함수(proper rational fraction): P(x)의 차수가 Q(x)의 ..

미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다. 사인 함수​sinx의 극한 식 1 -|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, 식 1이 성립함을 확인할 수 있다.   sinx/x의 극한식 2 x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다.  sinπ/x의 극한 존재하지 않는다.  x^2(sin(1/x))의 극한 부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면, 식 3 식 3을 얻을 수 있다.  식 4 식 4에 근거해, 식 3에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다.  코사인 함수cosx의 극한  모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성..

​0/0 부정형f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. 식 1 f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다. x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다. EXAMPLE 1.다음 식을 구하시오.식 2 SOLUTION.식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다.  분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자.   답은 2이다.■ EXAMPLE 2.다음 식을 구하시오.□ ∞/∞ 부정형 여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다. 따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다. ∞/∞ 부정형의 ..

​   ​자연로그 밑 e자연로그 밑(natural constant) e는 어떤 로그의 밑이 극한값 식 1로 정의될 때의 밑을 의미하며, 실수 중 무리수에 속하는 초월수(transcendental number; 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수)로 분류된다. 약 2.71828로 근사되는 수로 극한값으로 다음과 같이 표현된다.    u=1/n으로 치환한다면, n→∞일 때 1/n→0이고, e를 식 2로 재정의 할 수 있다.   그래프 표현 함수 f(x)=(1+x)^1/x의 그래프에서 불연속점 (0, e)를 확인할 수 있다.   f(x)=(1+1/x)^x의 그래프에서 점근선 y=e로 나타난다.   e의 역사무리수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어(John Napier, ..

​변수를 직접 적분하기 어려운 경우, 삼각함수의 성질을 활용하여 변수를 삼각함수로 치환하여 적분(삼각치환적분, integration by trigonometric substitution, ITS)할 수 있다. 예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해선 ∫(√a^2-x^2)dx (단, a>0이다.)와 같은 형태의 적분을 풀어야 한다. 상술한 적분은 ∫x(√a^2-x^2)dx와는 달리 치환이 어려운 적분으로, 만약 x=a sinθ로 치환하여 변수를 θ로 둔다면, 1-sin^2θ=cos^2θ를 써 근호를 제거할 수 있다.  일반적인 치환법칙과 구분하여, x=a sinθ는 다음과 같은 차이점을 갖는다. 1. 역치환(inverse substitution)  2. 역치환한 함수가 일대일이면 역치환이 가능하므로,..

적분의 대표적인 전략으로 지금까지 IBS(치환적분법)과 IBP(부분적분법)를 알아보았다. 하지만 이 전략들 이외에도 피적분함수의 형태에 따라 몇 가지 적분법이 더 있다. 1. 삼각함수적분(Integrals of Trigonometric Functions, ITF)2. 부분분수적분(Integration by Partial Fraction Decomposition, IPFD)3. 삼각치환적분(Integration by Trigonometric Substitution, ITS) 삼각함수 적분을 위해서는 삼각함수 항등식을 반드시 복습해야 한다.​ 삼각함수 적분은 피적분함수의 삼각함수 형태에 따라 다음과 같이 정리할 수 있다.  삼각함수의 반각공식은 삼각함수의 배각공식으로부터 유도할 수 있고, 두 식은 다음과 같..

​미분법의 곱법칙(product rule)에 대응되는 부분적분법(integration by parts, IBP)을 알아보자. ※ The IBP [1] Suppose that u(x) and v(x) are differentiable functions.[2] The product rule in terms of differentials gives us: d(uv)=udv+vdu [3] Rearranging the rule, we can write: udv=d(uv)-vdu [4] Integrating both sides with respect to x: ∫udv=uv-∫vdu (integration by parts formula)  부정적분 부분적분  ■  IBP에서 핵심적인 사항은 u와 dv를 적절하게 선..

​ 적분법에 들어가기에 앞서 먼저 미적분학의 미분법에 대해 간단히 복습하자.  미분법과 마찬가지로 적분에서도 합성함수를 적분하는 여러 가지 전략이 있다.   곱법칙(몫법칙을 포함해), 그리고 연쇄법칙과 대응되는(corresponds to) 적분법들도 존재하는데 대응관계는 다음과 같다. 1. 부분적분(integration by parts): 곱법칙에 대응한다.2. 치환적분(integration by substitution): 연쇄법칙에 대응한다.치환적분치환적분은 연쇄법칙과 유사한 방법의 적분법으로 연쇄법칙에서의 내부함수의 치환 요령을 따른다. [1] 내부함수를 u로 치환한다.[2] du/dx=g'(x)를 구한다.[3] 적분식에서 dx를 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다. ⇒ dx=du/g'(x)[4] u를 포..

새로운 함수가 이전의 함수들을 더하거나 빼거나, 또는 상수배하여 만들어진 것이라면, 그 도함수는 이전의 함수의 도함수에 의해 계산된다.​상수배 법칙 | Constant Multiple Rule  ■​g(x)=cf(x)라 하자.​​합 법칙 | Sum Rule  ■F(x)=f(x)+g(x)라 하자.​​차 법칙 | Difference Rule  ■​차 법칙 역시 합 법칙과 마찬가지로 부호만 바꾸면 같은 방식으로 증명이 가능하다.​EXAMPLE. 상수배, 합, 차​아래 주어진 함수에 대한 도함수를 각각 구하시오. (7문항)   ■​물체의 움직임Motion of an Object n차 도함수는 n-1차 도함수의 변화율과 같으며, 이는 물리학에서 물체의 움직임을 설명하는 운동학과 밀접하다. 위치가 시간의 함수일 때..

​미적분학의 기본정리 2에서 F는 f에 대한 임의의 원시함수였고, F는 다시 ∫f(x)dx로 표현할 수 있다.원시함수는 부정적분(indefinite integral)이라 불리며, 함수족(family)이다. ⇒ 즉, 부정적분은 하나의 함수족이다.​ F(x)=x^3/3은 f(x)=x^2의 역도함수, 즉 부정적분이며 여러 개의 부정적분을 갖는다.c는 부정적분의 상수(constant of integral)이다.부정적분의 상수는 임의의 값을 갖는다.​자주 사용되는 함수-부정적분 공식함수의 미분공식처럼 앞으로 적분을 풀기 위해서는 부정적분표가 필요하다.    부정적분의 여러 공식은 우변의 함수를 미분하여 피적분함수를 구하는 것으로 증명할 수 있다.  ※ List of Integrals There are nine l..