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【미분적분학 1】 Chapter 12. 미분법: 새로운 도함수 구하기

새로운 함수가 이전의 함수들을 더하거나 빼거나, 또는 상수배하여 만들어진 것이라면, 그 도함수는 이전의 함수의 도함수에 의해 계산된다.​상수배 법칙 | Constant Multiple Rule  ■​g(x)=cf(x)라 하자.​​합 법칙 | Sum Rule  ■F(x)=f(x)+g(x)라 하자.​​차 법칙 | Difference Rule  ■​차 법칙 역시 합 법칙과 마찬가지로 부호만 바꾸면 같은 방식으로 증명이 가능하다.​EXAMPLE. 상수배, 합, 차​아래 주어진 함수에 대한 도함수를 각각 구하시오. (7문항)   ■​물체의 움직임Motion of an Object n차 도함수는 n-1차 도함수의 변화율과 같으며, 이는 물리학에서 물체의 움직임을 설명하는 운동학과 밀접하다. 위치가 시간의 함수일 때..

【미분적분학 2】 Chapter 5. 부정적분

​미적분학의 기본정리 2에서 F는 f에 대한 임의의 원시함수였고, F는 다시 ∫f(x)dx로 표현할 수 있다.원시함수는 부정적분(indefinite integral)이라 불리며, 함수족(family)이다. ⇒ 즉, 부정적분은 하나의 함수족이다.​ F(x)=x^3/3은 f(x)=x^2의 역도함수, 즉 부정적분이며 여러 개의 부정적분을 갖는다.c는 부정적분의 상수(constant of integral)이다.부정적분의 상수는 임의의 값을 갖는다.​자주 사용되는 함수-부정적분 공식함수의 미분공식처럼 앞으로 적분을 풀기 위해서는 부정적분표가 필요하다.    부정적분의 여러 공식은 우변의 함수를 미분하여 피적분함수를 구하는 것으로 증명할 수 있다.  ※ List of Integrals There are nine l..

【미분적분학 2】 Chapter 4. 미적분학의 기본정리

​   뉴턴의 스승 배로(Isaac Barrow, 1630~1677, 잉글랜드)는 미분 문제와 적분 문제가 서로 밀접함을 발견했다.배로는 접선 문제와 넓이 문제의 풀이가 서로 역과정임을 확인했다. ⇒ 미적분학의 기본정리 이전에 적분은 합의 극한으로서 계산되었다. 함수 f가 구간 [a, b]에서 적분가능하고 Δx=b-a/n, x_i=a+iΔx일 때, 정적분은 다음과 같이 정의한다.  미적분학의 기본정리​미적분학의 기본정리 1(Fundamental Theorem of Calculus 1, FTC1) 만약 f가 구간 [a, b]에서 연속한다면,  로 정의된 함수 g는 구간 [a, b]에서 연속이고, 구간 (a, b)에서 미분가능하며, g'(x)=f(x)이다.■ - g(x)는 f(t)의 넓이와 같다.- g는 적..

​[Chapter 4. 도함수 찾기]에서 배운 미분계수의 개념에서 a(점 P의 x값)는 고정된 수였다. 그러나 지금부터는 이 a를 변할 수 있는 값으로 생각한다. 미분계수의 식에 a를 변수 x로 바꾸면, 도함수가 정의된다.​도함수 | Derivative ■​의미: x에서의 f'(x)의 값은 기하학적으로 점 (x, f'(x))에서 f의 그래프에 접하는 접선의 기울기[그림 1]이다.f'(x)는 f의 도함수(derivative of f)로 정의된다.f'(x)의 정의역은 {x | ∃f'(x)}이며, 이 값은 f의 정의역보다 크지 않다.​   EXAMPLE. 도함수함수 f(x)가 아래와 같이 주어졌을 때, f'(x)를 구하시오.  SOLUTION.(1)  (2)​​(3) ​​   ■​위의 계산식은 그 과정이 너무..

​17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시(Augustin L. Cauchy, 1789-1857)가 '입실론-델타 논법'을 제시했다.Cauchy는 프랑스의 수학자 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783)의 미적분학에서 아이디어를 얻었다.  ​그는 극한을 다음과 같이 정의했다. 변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여 이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때,이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다. 현대의 입실론-델타 논법은 이후, 프러시아 왕국 출신의 독일의 수학자 바이어슈트라스(K..

삼각함수(trigonometric function): 각도와 관련된 여러가지 함수삼각함수는 기본적으로 3가지 함수-sine 함수, cosine 함수, tangent 함수-가 있으며, 이들의 역수-cosecant, secant, cotangent-를 모두 합치면 총 6개이다. 삼각함수의 정의   삼각함수는 먼저 직각삼각형[그림 1]을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.   삼각함수의 직각삼각형 정의의 역수는 각각 코시컨트, 시컨트, 그리고 코탄젠트의 정의와 같다. 또한 단위원(unit circle: 반지름 r이 1인 원으로 원점 (0, 0)을 중심으로 한다.)으로 삼각함수를 정의할 수도 있다.   ​반지름을 r이라 둘 때, 각 삼각함수의 정의는 다음과 같이 정리한다. 1. sinθ = y/r2. cosθ ..

​극한 법칙Limit Laws 극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 아래의 성질들을 이용할 수 있다.​극한법칙 | Limit Lawsc가 상수이고, 두 극한 lim_x→a[f(x)], lim_x→a[g(x)]가 존재할 때, 다음의 성질을 만족한다.   ​■또한 극한법칙의 계산 수행 과정에서 아래의 기본극한값(basic limit result)을 활용해야 한다.​기본극한값 | Basic Limit Result  ​■첫 번째 극한값은 y=c 그래프를, 두 번째 극한값은 y=x 그래프를 그리면 그 이유를 쉽게 알 수 있다.​ 직접대입성질f가 다항식이거나 유리함수이고, a가 f의 정의역 내에 존재하면 다음의 성질을 이용할 수 있다.  여러가지 극한법칙과 직접대입성질을 이용하면 다항함수..

​ ​ 극한의 표기  극한은 위와 같이 표기하며, 뜻은 x→a(any real number)일 때, 함수 f(x)→L로 향함을 의미한다.​ 극한의 성질극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 극한의 여러가지 성질을 활용할 수 있다.​1. 상수함수의 극한(constant function rule): 상수함수의 극한 값은 상수(C) 그 자체이다.   2. x→a에서 x의 극한(basic limit result)   3. 샌드위치 정리(squeeze theorem)[그림 1]   함수의 관계가 다음과 같다고 하자. f(x)≤g(x)≤h(x) for all x close to a x=a인 지점을 제외하고, 조건에서 다음 식을 만족한다.  그러므로, ​극한의 사칙연산극한의 사칙연산은 두 개..

만약,  이면, 함수 f는 x=a에서 연속(continuous)한다. 함수의 연속은 '세 가지 조건'을 포함한다.   "함수 f는 임의의 점 x=a에서 연속이다."라는 명제의 필요충분조건은 위와 같은데, 즉 x=a에서 f의 극한은 존재하며 그 값은 f(a)가 된다. 자연의 많은 현상은 연속적이며, 연속함수로 해석할 수 있다. 예를 들어 물체의 움직임이나 개체 수의 변화는 시간에 따라 연속적으로 변한다.연속적인 점에서 함수 값은 극한 값과 일치한다.  EXAMPLE. 함수의 불연속성   [그림 1] 함수의 그래프를 보고, a, b, 그리고 c 지점의 연속성에 대해 설명하시오. SOLUTION.[1] x=a에서 f(a)가 정의되지 않는다. ⇒ 불연속​[2] x=b에서 f(a)는 색칠된 점으로 정의된다. 그러..

극한의 정의Definition of Limits 극한값(극한)이 존재할 수 있는 필요충분조건을 공부하기 위해, 앞선 챕터에서 다룬 극한의 정의를 다시 한 번 정리한다.​극한의 일반적인 정의는 다음과 같다.  x가 a에 접근할 때, f(x)의 값은 L에 가까워지는데, 이때 x≠a임에 유의한다.x를 a에 접근할 때, x=a는 고려하지 않는다. a의 근방에서 함수 f가 어떻게 정의되는 지가 극한 개념의 핵심이다.​구간축소법을 활용해 도함수를 찾는 과정[그림 1]에서 극한은 아래와 같이 이용되었다.   어떠한 그래프 상에서 특정한 지점의 접선을 구할 때, [그림 2]와 같이 x 대신 a, δx 대신 h로 바꾸어 표현하는데, 이때 접선의 일반식은 아래와 같다.​  ​​이때 a는 x축에 놓여진 임의의 수로 다시 a..