【미분적분학 2】 Chapter 7. 부분적분

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미분법의 곱법칙(product rule)에 대응되는 부분적분법(integration by parts, IBP)을 알아보자.

 

※ The IBP

 

[1] Suppose that u(x) and v(x) are differentiable functions.

[2] The product rule in terms of differentials gives us:

 

d(uv)=udv+vdu

 

[3] Rearranging the rule, we can write:

 

udv=d(uv)-vdu

 

[4] Integrating both sides with respect to x:

 

∫udv=uv-∫vdu (integration by parts formula)

 

 

부정적분 부분적분

 

 

■

 

 

IBP에서 핵심적인 사항은 u와 dv를 적절하게 선별하는 일이다. 그리고 이런 피적분함수를 치환할 때, 경험적으로 ILATE 규약을 활용한다. ILATE란,

 

 

Inverse trigonometric

Logarithmic

Algebraic

Trigonometric

Exponential

 

 

의 첫 알파벳 글자 모음으로, 가령

 

 

와 같이 피적분함수가 합성함수 일 때, ILATE에 근거해 u로 가능성 있는 함수를 선택한다면 algebraic 함수인 x가 exponential 함수인 e^2x보다 우선한다.

 

 

 

- IBP를 시행할 때, u와 dv는 피적분함수를 모두 포함하도록 설정한다.

 

 

EXAMPLE. 부정적분 부분적분

 

□

 

부정적분의 부분적분에서 첨가되는 여러 적분상수들은 총합의 개념으로 마지막 결론 부분에서 간단히 C로 제시한다.

 

 

점화공식

 

■

 

부분적분을 활용해 n≥2인 정수 n에 대한 점화공식을 증명할 수 있다.

 

 

정적분 부분적분

 

■