【미분적분학 1】 Chapter 10. 엡실론-델타 논법

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17세기 미적분학이 '발명'된 이후, 여러 수학자들에 의해 실용적인 발전을 거쳤다. 그러다 19세기에 이르러 미적분학은 '엄밀한 정의'의 재정립이 필요했는데, 이러한 움직임의 선두 주자로 프랑스의 수학자 코시(Augustin L. Cauchy, 1789-1857)가 '입실론-델타 논법'을 제시했다.

• Cauchy는 프랑스의 수학자 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783)의 미적분학에서 아이디어를 얻었다.

 

Augustin Louis Cauchy (1789~1857)

 

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그는 극한을 다음과 같이 정의했다.

 

변수로 생각되는 잇따른 값들이 어떤 고정된 값에 접근하여

이것과의 차이가 원하는 만큼 작아질 때,

이렇게 고정된 값을 다른 것들의 극한이라 정의한다.

 

현대의 입실론-델타 논법은 이후, 프러시아 왕국 출신의 독일의 수학자 바이어슈트라스(Karl Weierstrass, 1815-1897)가 최종 정리한 것이다.

Karl Weierstrass (1815~1897)

 

 

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극한의 엄밀한 정의

 

x→a일 때, f(x)의 극한이 L과 같다는 것을 보여주기 위해서는 x가 a에 충분히 가까이 가는 것을 유지함으로써 f(x)와 L의 간격 차이가 아주 작은 어떤 정해진 오차보다 작게 만들 수 있음을 보여야 한다.

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입실론-델타 논법

어떤 f(x)가 x=a를 제외한 a의 근방에서 정의된 함수일 때, f(x)가 임의의 양수 ε(입실론)에 대해 적당한 양수 δ(델타)가 존재하여, 0<|x-a|<δ인 모든 x에 대해 |f(x)-L|<ε을 항상 만족할 때, 함수 f(x)는 x=a에서 극한값 L을 갖는다고 하며, 기호로는 limf(x)_x→a=L로 쓴다.

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집합론에 사용하는 기호들을 활용하면, 위의 긴 문장은 아래와 같이 요약된다.

 

 

 

해석: f(x)가 임의의 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ인 모든 x에 대해 |f(x)-L|<ε을 항상 만족할 때, 함수 f(x)는 x=a에서 극한값 L을 갖는다. 단, f(x)는 x=a를 제외한 a의 근방에서 정의된 함수를 뜻한다.

• ∀: any의 첫 글자로부터 유래한 기호로 '임의의'라는 의미이다.
• ∃: exist의 첫 글자로부터 유래한 기호로 '존재한다'라는 의미이다.
• s.t: such that으로, that 이하의 명제를 만족하는 어떤 것
• A ⇒ B: A이면 B이다. A는 B의 조건문으로 A가 참일 때 B이다고 풀어쓸 수 있다.

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집합론으로 표현한 코시의 입실론-델타 논법 해석에는 두 가지 선행지식을 필요로 한다.

1. 절댓값의 부호
2. p⇒q

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절댓값의 부호

절댓값의 부호는 다음과 같은 부등호식을 만족한다.

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p⇒q

p이면 q이다라는 명제는 p를 만족하는 진리집합 P가 q를 만족하는 진리집합 Q에 속함을 의미하고, 이는 곧 진리집합 P가 진리집합 Q의 부분집함임을 의미한다.

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만약 a⇒b의 관계에서 a의 진리집합이 A이고, b의 진리집합이 B일 때, 아래의 벤 다이어그램[그림 1]을 만족한다.

 

그림 1. 진리집합의 포함관계

 

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두 가지 지식을 활용하여 집합론적으로 표현한 입실론-델타 논법을 분석해보자.

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입실론-델타 논법의 분석

그림 2. 입실론과 델타의 위치

 

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첫 번째 단계

 

 

위의 동치관계에 대해 각 항에 a를 더할 수 있다.

 

 

이때 x는 a와 같지 않기 때문에 x≠a라는 단서가 붙고 이에 0보다는 크다라는 부등식으로 내용을 수정할 수 있다.

 

 

두 번째 단계

 

 

첫 번째 단계와 같이 동치관계에 대해 각 항에 L을 더할 수 있다.

 

 

세 번째 단계

 

 

위의 내용은 p⇒q 선행지식을 이용하여 다음과 같이 해석 가능하다.

 

 

네 번째 단계

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즉, 입실론 구간을 먼저 선택하였을 때, 입실론 구간에 포함되는 델타 구간의 존재를 규명함으로써, 극도로 좁은 델타 구간의 함숫값으로 극한을 정의하였다.

• 양의 입실론을 우선 선택한다.
• 델타 값은 존재로서의 정의로 입실론을 선택했을 때 '양수' 값(positive value)인 델타의 값만 존재하면 된다.
• 입실론의 값을 줄일 때 마다 델타 구간은 압축되듯이 한 점에 가까워지는데, 이 압축된 지점의 함숫값을 극한이라 한다.

 

 

그림 3. x와 a사이의 거리 δ를 ε의 함수로 계산할 수 있다면, 모든 ε에 대해 f(x)를 L의 오차 한계 내에 둘 수 있다.

 

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입실론-델타 논법(영문) 추가 분석

엡실론-델타 논법(영문)

Let f(x) be defined for all x≠a over an open interval containing a. Let L be a real number. Then

 

 

if, for every ε>0, there exists a δ>0, such that if 0<|x-a|<δ, then |f(x)-L|<ε.

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임의의 어떤 양수 ε에 대해 적당한 양수 δ가 존재하여, such that 이하의 문장을 만족한다면, 함수 f(x)는 x가 a로 다가 갈 때 L로 수렴(converging to L at a)한다.

• 다음, such that 이하 문장을 해석하는 방법은 아래와 같다.

1. 두 점 a와 b 사이의 거리는 |a-b|로 표현할 수 있다.

2. 엡실론-델타 논법에서 0<|x-a|<δ의 해석

(1) x ≠ a

(2) x와 a 사이의 거리는 δ보다 작다.​

3. 엡실론-델타 논법에서 |f(x)-L|<ε의 해석: |f(x)-L| < ε는 f(x)와 L 사이의 거리는 ε보다 작다​는 의미이다.

4. 절댓값에 대한 해석

(1) |f(x)-L|<ε은 다음과 같이 풀이할 수 있다.

L-ε<f(x)<L+ε

|f(x)-L|<ε ⇔ -ε< f(x)-L <ε (절댓값 |a|<b는 -b<a<b로 풀어쓸 수 있다.)

-ε+L< f(x)-L+L<ε+L

hence,

L-ε<f(x)<L+ε

(2) 0<|x-a|<δ은 다음과 같이 풀이할 수 있다.

a-δ<x<a+δ이고 x≠a이다.

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x가 a에 가까이 있다.

일반적인 극한식에서 x→a는 x가 a로 '다가간다'고 정성적으로 해석됐다. 그러나 이를 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.

- "x→a일 때, f(x)의 극한은 L이다": x가 a에 충분히 가까이 가는 것을 정의함으로써, f(x)와 L간의 간격차가 극도로 작은 어떤 정해진 오차보다 작게 만들어 질 수 있음을 보여야 한다.

- 극한 정의에서 델타와 엡실론의 관계: 모든 오차한계 ε에 대해 f(x)를 L의 엡실론 내에 두게 하려면, x와 a 사이의 가까운 거리 δ를 엡실론의 함수로 구하거나 혹은 계산할 수 있음을 증명하면 된다.

 

1. a-δ<x<a+δ이고 x≠a이다.

2. L-ε<f(x)<L+ε

3. L-ε<f(x)<L+ε의 범위 내에 a-δ<x<a+δ(단, x≠a)의 함숫값들이 포함된다.

- a-δ<x<a+δ의 범위에서 a, a-δ, a+δ를 제외한 나머지 점의 값들은 x가 취할 수 있는 모든 값이고 이것의 상이 바로 f(x)이다.

- L-ε<f(x)<L+ε의 범위에서 L-ε과 L+ε의 점 값은 포함되지 않는다.

즉, 입실론 구간을 먼저 선택했을 때, 입실론 구간에 포함되는 델타 구간의 존재를 증명함으로써, 극도로 좁은 델타 구간의 함숫값으로서 극한을 정의할 수 있다.