【미분적분학 1】 Chapter 9. 삼각함수와 극한

 

삼각함수(trigonometric function): 각도와 관련된 여러가지 함수

• 삼각함수는 기본적으로 3가지 함수-sine 함수, cosine 함수, tangent 함수-가 있으며, 이들의 역수-cosecant, secant, cotangent-를 모두 합치면 총 6개이다.

 

삼각함수의 정의

그림 1

 

 

 

삼각함수는 먼저 직각삼각형[그림 1]을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

 

 

삼각함수의 직각삼각형 정의의 역수는 각각 코시컨트, 시컨트, 그리고 코탄젠트의 정의와 같다.

 

또한 단위원(unit circle: 반지름 r이 1인 원으로 원점 (0, 0)을 중심으로 한다.)으로 삼각함수를 정의할 수도 있다.

 

 

그림 2

 

​

반지름을 r이라 둘 때, 각 삼각함수의 정의는 다음과 같이 정리한다.

 

1. sinθ = y/r

2. cosθ = x/r

3. tanθ = y/x = sinθ/cosθ

4. secθ = 1/cosθ

5. cscθ = 1/sinθ

6. cotθ = 1/tanθ = cosθ/sinθ

 

sine 그래프와 cosine 그래프[그림 3], 그리고 tangent 그래프는 아래[그림 4]와 같이 그릴 수 있다.

 

그림 3

 

 

그림 4

 

 

삼각함수의 성질

삼각함수는 다양한 정의만큼 여러가지 성질을 가지고 있는데, 자주 사용하는 삼각함수의 성질을 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

1. 주기성: 삼각함수의 그래프를 통해 이들이 2π(sine, cosine) 혹은 π(tangent)의 주기(period)를 가짐을 알수 있다.

2. 특수각에서의 삼각함수의 값

 

 

 

 

3. 항등식(trigonometric identity): 삼각함수가 나오는 항등식으로 복잡한 삼각함수 식을 간단히 정리하는 데 유용하다.

 

(1) 피타고라스 정리

 

삼각함수의 피타고라스 정리

 

 

■

 

• 여기서 sin^2(x)는 (sinx)^2과 같다.

​

 

(2) 삼각함수의 덧셈정리

 

두 삼각함수를 연결하는 연산자의 종류에 따라 2가지 항등식을 가지며, 이들은 삼각함수의 가법으로 쉽게 유도할 수 있다.

 

삼각함수의 가법

 

■

 

삼각함수의 합곱 변환식

 

삼각함수의 곱합 변환식

 

 

 

(3) 삼각함수의 배각공식(double-angle formula)

 

삼각함수의 가법으로 배각공식을 유도할 수도 있다.

 

배각공식

 

 

 

■

 

(4) 사인법칙과 코사인법칙

 

미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다.

​

 

사인 함수

 

sinx의 극한

 

식 1

 

 

​

 

-|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, [식 1]이 성립[그림 5]함을 확인할 수 있다.

 

그림 5

 

 

sinx/x의 극한

 

식 2

 

​

 

x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다.

 

 

sinπ/x의 극한

 

존재하지 않는다.

 

 

x^2(sin(1/x))의 극한

 

부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면,

 

식 3

 

​

 

[식 3]을 얻을 수 있다.

 

식 4

 

 

​

 

[식 4]에 근거해, [식 3]에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다.

 

 

 

코사인 함수

 

cosx의 극한

 

 

모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성립하고, 극한법칙에 따라 lim_{a→0}cosx=1(식 5)을 유도할 수 있다.

 

식 5

 

cosx-1/x의 극한

 

 

 

탄젠트 함수

 

tanx/x의 극한

 

 

이외에도,

 

 

와 같은 탄젠트 함수 관련 극한 값들이 있다.