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​지금까지 배운 적분의 개념은 구간이 유한한 경우에 한정되었다. 하지만 실제 자연계의 현상들 중에는 무한한 영역을 다루어야 하는 상황 또한 존재한다. 예를 들어,시간이 무한히 흐르는 경우전기장이나 중력장이 펼쳐진 무한한 공간확률분포의 정의역이 (-∞, +∞)인 경우​는 무한한 영역을 적분해야 하는 좋은 예시들이다.​ ​이상적분(異常積分, improper integral)이란, 적분의 한쪽(상한, 하한) 또는 양쪽 끝이 무한대인 적분을 뜻한다. 계속해서 오염물질을 배출하는 오염원으로부터 바다로 배출하는 총 오염물질의 양을 계산할 때, 오염원이 완전히 없어지지 않는 한은 '무기한'으로 오염물 배출이 발생하므로, 총 오염물질(양)을 계산하는 데 이상적분의 개념이 반드시 들어간다.​만약 오염물질 배출이 통제되..

넓이와 부피Area and Volume 정적분의 넓이를 공부할 때, 우리는 다음 개념을 정성, 정량적으로 학습했다.정성적 기술: 무수한 선들이 모여 면적을 이루듯 x축의 주어진 구간 x와 함숫값 사이 선분 길이 y[그림 1]를 모두 합하면 전체 구간의 '면적'이 나온다. 정량적 기술: 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속할 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형 넓이 S는 아래와 같은 수식으로 구한다. 만약 [그림 2]와 같이 음의 영역(구간 [c, b])이 있다면 f(x)에 절댓값을 붙인다.​정적분의 넓이 공식에서 f(x)는 미소 선분에 관한 함수였다. 이제 이 f(x)를 한 차원 더 높여 미소 넓이를 피적분 함수로 잡아 적분을 해보자.​ 입체도형의 부피..

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases 삼각함수의 곱 형태는 직접 적분하기가 매우 어렵다. 이때 곱을 합(또는 차)으로 변환하는 공식(곱-합 공식, product-to-sum formula(PTS formula))을 사용하면 적분이 매우 쉬워진다.​심화 삼각함수 적분 중 마지막 3가지는 삼각함수의 곱 형태로 나타나는 피적분함수의 적분법이다.위의 식에서 m와 n은 임의의 상수로, 예를 들어 sin(2x)sin(3x)의 그래프는 다음과 같이 나타난다. 전략 8: 피적분함수 sin(mx)sin(nx) 적분 구하기삼각함수 sin끼리 서로 곱하였을 때, 합 공식, 를 사용한다.​여기서 A=mx, B=nx라 할 수 있으므로,로 식을 고칠 ..

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases 이전 단원(【44. 적분법: 삼각함수 적분 】)에서 우리는 삼각함수 n승의 4가지 경우를 살펴보았다.https://blog.naver.com/moduphysics/224341986959 " data-og-description="【26. 삼각함수 부정적분】을 시작으로 우리는 아래와 같은 삼각함수 적분을 이미 배웠다. 위는 삼각함수의..." data-og-host="blog.naver.com" data-og-source-url="https://blog.naver.com/moduphysics/224341986959" data-og-url="https://blog.naver.com/moduphysi..

심화 삼각함수 적분: 10가지 경우Advanced Trigonometric Integration: 10 Cases 피적분함수의 형태에 따라 삼각함수 적분의 심화형태는 크게 10가지 경우로 소개된다.​삼각함수 n승(4가지)삼각함수에 n승이 취해진 함수를 피적분함수로 하여 적분하는 경우는 크게 4가지이다.1-1) n이 짝수인 경우첫 번째 sin함수의 n승을 피적분함수로 둘 때로, n이 (1)짝수인 경우와 (2)홀수인 경우로 다시 분류할 수 있다.​우선 짝수인 경우는 아래 두 개 반각공식,을 활용하여 문제를 푼다.​예를 들어,에서 sin^4(x)는 제시한 첫 번째 반각공식을 활용하여,로 풀 수 있는데, 이를 마저 전개하면, 이 된다.​다음 cos^2(2x)는 제시한 두 번째 반각공식을 활용하여,로 쓸 수 있고..

지금까지 우리는 아래와 같이 적분법(積分法, techniques of integration)을 배워왔다. 기본적분: 다항식, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등을 적분하는 기본 적분 공식 목록 (23강, 25강, 26강, 37강)치환적분 (28강, 40강)부분적분 (29강, 30강, 41강)​삼각치환Trigonometric Substitution 적분법이란, 적분에서의 피적분함수를 간단하게 만드는 방법을 정리한 목록으로 '삼각치환'을 활용한 '삼각치환법' 또한 적분법에 속한다.​삼각치환이란 피적분함수에,와 같은 루트가 포함되었을 때, 삼각함수의 항등식인,을 이용하여 식을 간단하게 만드는 방법이다.​예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해서는,와 같은 형태의 적분을 풀어야 하는데, [그림 1]과 같은 기..

미적분학에서 적분은 그래프 상에서 면적으로 주로 나타난다. 하지만 적분의 본질적인 의미는 '누적된 변화율로 인한 새로운 양(quantity)을 구하는 것'이다. 그리고 이러한 새로운 양은 크게 6가지로 정리할 수 있다.면적곡선 길이누적 변화량(cumulative change)평균값(average value)표면적(surface area)부피(volume)​모든 응용의 출발점은 미적분학의 기본정리이다.​누적 변화량이란 무엇인가What is the Cumulative Change? 누적 변화 또는 누적 변화량이란 특정 기간 동안 발생한 모든 변화의 총합으로, 각 시점의 변화량을 이전까지의 합계에 계속 더하는 방식으로 계산하며, 장기적 추세(long-term trends) 및 연속 사건의 잠재적 효과(net ..

복습: 부분적분Review: Integration by Parts https://blog.naver.com/moduphysics/224312953427 【미분적분학 노트】 29. 적분법: 부분적분 ※예제포함미분에서의 곱법칙과 부분적분법 부분적분법(integration by parts)은 두 함수 u(x)와 v(x)가 미분가능할 ...blog.naver.com 【29. 적분법: 부분적분】에서 부분적분에 관한 아래 사항들을 학습하였다.​만약 u(x)와 v(x)가 미분가능할 때, 이들은 아래와 같이 적분할 수 있다.부분적분의 절차피적분함수가 합성함수일 때 u와 dv를 정한다. 미분을 했을 때 간단해지는 함수를 u로 적분을 했을 때 간단해지는 함수를 dv로 선택하는데, 이때 I LATE 규약을 사용한다. ⇒ ..

​ 복습: 치환적분Review: Integration by Substitution (Substitution Integration) 【28. 적분법: 치환적분】에서 우리는 치환적분을 아래와 같이 배웠다. ​https://blog.naver.com/moduphysics/224311412202 만약 u=g(x)가 구간 I를 치역으로 갖는 미분가능한 함수이고, f가 I위에서 또한 연속한다면, 아래 식을 만족한다. 【미분적분학 노트】 28. 적분법: 치환적분연쇄법칙과 치환적분 연쇄법칙 복습 미분학에서 우리는 합성함수를 미분하는 방법으로 연쇄법칙을 배웠다. ...blog.naver.com 치환적분은 미분법에서의 연쇄법칙 내용과 정확히 호관된다. 즉, 치환법칙은 연쇄법칙의 역과정으로서 증명된다.치환적분은 상대적..

용수철Spring ​용수철(龍鬚鐵, spring): 진동, 충격 등의 운동 현상을 완화시키는 탄력이 있는 물체(기계 요소)로 일반적으로 [그림 1]과 같이 생겼다. ⇒ 기계적 에너지를 저장할 수 있는 탄성체이다.인류 역사 속 최초의 용수철은 활과 같은 형태로 사용되었다. 코일 형태의 용수철은 약 15세기경에 등장하였다.용수철의 코일 모양은 압축되거나 늘어난 이후 원래의 모양으로 돌아올 수 있도록 한다.탄성한계(elastic limit)을 넘은 힘이 가해지면 이후에는 복원되지 않는다.​잉글랜드의 물리학자인 로버트 훅(Robert Hooke, 1635-1703)이 용수철 길이와 힘 간의 관계식을 발견(1678)하면서 본격적으로 용수철이 수학적으로 분석되었다.​ ​탄성한계와 훅의 법칙 | Elastic L..