【미분적분학 1】 Chapter 7. 극한의 성질

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Godfrey Harold Hardy, 1877~1947

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현대적인 극한의 표기는 영국의 수학자 하디(Godfrey Harold Hardy, 1877~1947, 잉글랜드)의 『A Course of Pure Mathematics』(1908)에서 처음 소개되었다.

 

극한의 표기

 

 

극한은 위와 같이 표기하며, 뜻은 x→a(any real number)일 때, 함수 f(x)→L로 향함을 의미한다.

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극한의 성질

극한을 알고 있는 함수들의 대수적 결합함수의 극한 계산을 위해, 극한의 여러가지 성질을 활용할 수 있다.

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1. 상수함수의 극한(constant function rule): 상수함수의 극한 값은 상수(C) 그 자체이다.

 

 

 

2. x→a에서 x의 극한(basic limit result)

 

 

 

3. 샌드위치 정리(squeeze theorem)[그림 1]

 

 

그림 1

 

함수의 관계가 다음과 같다고 하자.

 

f(x)≤g(x)≤h(x) for all x close to a

 

x=a인 지점을 제외하고, 조건에서 다음 식을 만족한다.

 

 

그러므로,

 

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극한의 사칙연산

극한의 사칙연산은 두 개 이상의 극한을 사칙연산할 때 활용된다. 아래 소개할 극한의 사칙연산은 다음과 같다.

 

1. 극한의 합법칙(sum rule)

 

 

 

 

두 개 이상의 함수의 극한합(extended sum rule):

 

 

2. 극한의 상수곱법칙(constant multiple): 상수 k가 곱해진 함수의 극한 값은 함수의 극한에 상수를 곱한 값과 같다.

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3. 극한의 곱법칙(product rule)

 

 

두 개 이상의 함수의 극한곱(extended product rule):

 

 

 

4. 극한의 몫법칙(quotient rule)

 

 

 

• 극한의 몫법칙은 분모자리의 함수의 극한이 0이되지 않는 조건이 붙는다. (provided that the limit in the denominator function is NOT ZERO)​

 

5. 극한의 멱법칙(power rule)

 

 

• p는 어떠한 실수도 가능하다.

 

지수함수와 로그함수의 극한

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지수함수 극한(limit of an exponential function)

 

 

• 밑(base) b는 0보다 반드시 커야한다.

 

로그함수 극한(limit of a logarithm of a function)

 

 

 

• 밑 b는 0보다 반드시 커야한다.