【미분적분학 1】 Chapter 6. 함수의 연속성

 

만약,

 

 

이면, 함수 f는 x=a에서 연속(continuous)한다.

 

함수의 연속은 '세 가지 조건'을 포함한다.

 

 

 

"함수 f는 임의의 점 x=a에서 연속이다."라는 명제의 필요충분조건은 위와 같은데, 즉 x=a에서 f의 극한은 존재하며 그 값은 f(a)가 된다.

 

자연의 많은 현상은 연속적이며, 연속함수로 해석할 수 있다. 예를 들어 물체의 움직임이나 개체 수의 변화는 시간에 따라 연속적으로 변한다.

• 연속적인 점에서 함수 값은 극한 값과 일치한다.

 

 

EXAMPLE. 함수의 불연속성

그림 1

 

 

 

[그림 1] 함수의 그래프를 보고, a, b, 그리고 c 지점의 연속성에 대해 설명하시오.

 

SOLUTION.

[1] x=a에서 f(a)가 정의되지 않는다. ⇒ 불연속

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[2] x=b에서 f(a)는 색칠된 점으로 정의된다. 그러나 lim_{x→b}[f(x)]는 정의되지 않는다. 왜냐하면 좌극한과 우극한이 서로 다르기 때문이다.

 

(1) 좌극한: 검은 점

(2) 우극한: 흰 점

 

⇒ 따라서 불연속하는 것으로 해석된다.

 

​

[3] x=c에서 좌극한과 우극한은 서로 같다. ⇒ (흰 점)

​

그러나 f(c)는 (검은 점)으로 함수의 연속 정의의 세 번째 조건(lim_{x→a} [f(x)]=f(a))을 만족하지 못한다.

​

⇒ 불연속

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연속하는 함수의 세 가지 조건

 

 

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반면 [그림 2]와 같은 그래프는 지점 a에서 '불연속적(discontinuous)'인데, 불연속 함수의 예제는 아래와 같다.

 

 

그림 2

 

 

 

세 가지 그래프는 모두 discontinuous functions(특정 지점 a에 끊긴 함수)을 보여준다.

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• [그림 2]의 첫 번째 그림: f(a)가 정의되지 않았다.
• [그림 2]의 두 번째 그림: f(a)는 검은 점으로 정의되었다. 그러나 좌극한과 우극한이 달라 limf(x)가 존재하지 않는다.
• [그림 2]의 세 번째 그림: f(a)는 검은 점이고, lim_{x→a}[f(x)]는 흰 점이다.

 

lim_{x→a}[f(x)] ≠ f(a)

 

함수의 연속성은 (1)방향 연속성과 (2)구간 연속성의 특성 또한 갖는다.

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방향 연속성

 

 

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구간 연속성

함수 f가 어떠한 구간의 모든 점에서 연속할 때, f는 그 구간에서 또한 연속이다.

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연속하는 함수는 다음과 같다.

 

1. 다항식(polynomials)

2. 유리함수(rational function)

3. 제곱근 함수

4. 삼각함수

5. 역삼각함수

6. 지수-로그 함수

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불연속점 | Point of Discontinuity

미적분학에서 대표적인 불연속점(point of discontinuity)은 크게 3가지이며, 그래프(모습)는 다음과 같다.

 

그림 3

1. 제거 가능 불연속점(removable discontinuity): 좌극한과 우극한이 서로 일치하나 f(a)의 값은 극한 값과 다르다.
2. 비약 불연속점(jump discontinuity): 좌극한과 우극한이 서로 일치하지 않는다.
3. 무한 불연속점(infinite discontinuity): 좌극한과 우극한의 불연속점이 무한대를 향한다.