【미분적분학 1】 Chapter 5. 극한값의 필요충분조건

 

극한의 정의

Definition of Limits

 

극한값(극한)이 존재할 수 있는 필요충분조건을 공부하기 위해, 앞선 챕터에서 다룬 극한의 정의를 다시 한 번 정리한다.

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극한의 일반적인 정의는 다음과 같다.

 

 

x가 a에 접근할 때, f(x)의 값은 L에 가까워지는데, 이때 x≠a임에 유의한다.

• x를 a에 접근할 때, x=a는 고려하지 않는다. a의 근방에서 함수 f가 어떻게 정의되는 지가 극한 개념의 핵심이다.

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구간축소법을 활용해 도함수를 찾는 과정[그림 1]에서 극한은 아래와 같이 이용되었다.

 

 

그림 1

 

어떠한 그래프 상에서 특정한 지점의 접선을 구할 때, [그림 2]와 같이 x 대신 a, δx 대신 h로 바꾸어 표현하는데, 이때 접선의 일반식은 아래와 같다.

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그림 2

 

 

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이때 a는 x축에 놓여진 임의의 수로 다시 a를 x로 바꾸어 쓰면, 도함수의 일반식을 아래와 같이 나타낼 수 있다.

EXAMPLE. 극한의 정의

SOLUTION.

x에 2에 접근하는 수들로 대입한다.

표의 x값은 모두 2에 가까워지는 수들의 집합으로 f(x)는 점차 4로 수렴함을 확인할 수 있다.

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EXAMPLE. 극한의 정의 (2)

아래의 극한 값을 구하시오.

SOLUTION.

위의 예제(극한의 정의)와 같이 표를 작성하여 풀면, 첫 번째는 0.5, 두 번째는 1/6의 값으로 접근함을 알 수 있다.

• 단, 계산기의 소수점 계산 한계 때문에 두 번째의 결과가 0처럼 수렴하는 것으로 보일 수 있다.

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EXAMPLE. 극한값의 추론

$\lim _{\combi{x}\to \combi{0}}^{ }\combi{\sin \left(\frac{\pi }{x}\right)}의\ 극한을\ 구하시오.$limx→0sin(πx​)의 극한을 구하시오.​

함수 f(x)에 대해 x=0은 정의되지 않고, x에 접근하는 값에 근사하는 몇 개의 작은 수치를 대입해 함숫값을 구하면 아래와 같다.

 

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이와 같이 계속 풀어가면 극한 값은 0으로 접근한다고 추론할 수 있는데, '그러나' 실제 그래프는 아래와 같이 나온다.

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x가 0으로 접근할 때, f(x)의 값은 어떠한 특정 수에 접하지 않으므로, 위의 극한값은 존재하지 않는다라고 할 수 있다. ⇒ +1과 -1 사이에서 값은 '진동'한다.

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극한의 방향성

Direction of Limits

 

극한값의 추론 예제에서 극한의 정의에는 함정이 있음을 보인다. 부적절한 x값을 사용했을 때, 잘못된 극한을 추론할 수도 있고, 때론 언제 계산을 멈춰야하는 지도 판단하기 어렵다.

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좌극한과 우극한 | Left-hand Limits and Right-hand Limits

좌극한(limit from the left, left-hand limit)[그림 3]: a보다 작으면서 a에 충분히 가깝도록 x를 설정하면, f(x)의 값이 L에 가까워지는 데, 이 때 x→a인 경우, f(x)의 좌극한은 L이라 한다.

 

 

우극한(limit from the right, right-hand limit)[그림 3]: a보다 크면서 a에 충분히 가깝도록 x를 설정하면, f(x)의 값이 L이 가까워지는 데, 이 때 x→a인 경우, f(x)의 우극한은 L이라 한다.

 

 

 

그림 3. 좌극한과 우극한의 방향성에 주목하자.

 

 

 

좌극한과 우극한은 [그림 3]과 같이 C를 향한다는 공통점 때문에 일방향 극한(one-sided limit)으로 묶어 부르며, 좌극한은 그래프의 '왼쪽'에서 출발하여 오른 방향으로 움직이며, 우극한은 '오른쪽'에서 출발하여 왼 방향으로 움직인다.

 

일방향성 극한을 정의했고, 이 둘을 이용하면 극한의 필요충분조건을 정의할 수 있다.

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극한(값)의 필요충분조건

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