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극한의 정의Definition of Limits 극한값(극한)이 존재할 수 있는 필요충분조건을 공부하기 위해, 앞선 챕터에서 다룬 극한의 정의를 다시 한 번 정리한다.​극한의 일반적인 정의는 다음과 같다.  x가 a에 접근할 때, f(x)의 값은 L에 가까워지는데, 이때 x≠a임에 유의한다.x를 a에 접근할 때, x=a는 고려하지 않는다. a의 근방에서 함수 f가 어떻게 정의되는 지가 극한 개념의 핵심이다.​구간축소법을 활용해 도함수를 찾는 과정[그림 1]에서 극한은 아래와 같이 이용되었다.   어떠한 그래프 상에서 특정한 지점의 접선을 구할 때, [그림 2]와 같이 x 대신 a, δx 대신 h로 바꾸어 표현하는데, 이때 접선의 일반식은 아래와 같다.​  ​​이때 a는 x축에 놓여진 임의의 수로 다시 a..

​ 도함수 찾기 - 구간축소법과 극한Finding a Derivative - SIM and Limits 앞선 챕터에서 배운 내용들을 시작으로, 어떤 함수의 순간 기울기인 도함수(derivative) 개념을 이끌어 내보자.​구간축소법: 어떤 함수의 임의의 점에 대한 실질적인 함수의 변화율은 '구간에서의 평균 변화율'에서 x의 구간(Δx)을 더욱 좁혀나감으로써 f(x)의 한 점에서의 변화율 경향성을 예측할 수 있다. 두 구간의 가장 작은 차이를 증분이라 하고 기호로는 δx로 표현한다.극한: 만약 x가 x축의 a라는 특정 값에 한없이 가까워질 때, 함수값 f(x)는 어떠한 극한 값을 가지게 되고 이를 L 이라는 수로 표현할 수 있는데, 구간축소법의 개념을 적용해 δx가 0에 가깝게 설정될 때, 극한의 기법을 ..

극한 개념의 발전History of the Concept of Limits  독일의 수학자 헤르만 헹켈(Hermann Hankel, 1839-1873)에 따르면, 현대적인 극한의 개념은 유클리드 원론 제10권 첫 번째 명제(X.1)에서 비롯되었으며, 이는 유클리드와 아르키메데스의 소진법(method of exhaustion)에 기초가 된다.​"Two unequal magnitudes being set out, if from the greater there is subtracted a magnitude greater than its half, and from that which is left a magnitude greater than its half, and if this process is repeat..

​앞선 챕터에서 우리는 미분적분학에서 핵심적으로 다루는 (1)함수와 (2)접선의 의미를 아래와 같이 공부하였다.함수: 집합 X의 각 원소 x를 집합 Y에 있는 오직 한 원소 f(x)에 대응시키는 일련의 규칙, 원소 x는 독립변수, 함수값 또는 상 f(x)는 종속변수이다.접선: 어떠한 그래프 상에 '한 지점에 접하는 직선', 할선의 기울기의 극한으로 값을 구한다. 미분에 대한 접근Approach to Differentiation  ​[그림 1]을 통해 주어진 함수는 다음과 같이 변화함을 알 수 있다.0~5초: 변화율 없음5~7초: 우상향 변화, y의 변화율은 양의 값을 가짐7~8초: 우상향 변화, 5~7초보다 더욱 급변함8~9초: 우하향 변화, y의 변화율은 음의 값을 가짐9~12초: 우하향 변화, 8~9..

​미분적분학(calculus): 미적분학, 함수로 표현할 수 있는 어떠한 물리량의 '변화'를 분석하는 데 사용되는 수학기법함수(function): 어떠한 집합 X, Y에 대한 함수 f란, 아래를 만족하는 대응관계로 정의한다. [그림 1]임의의 원소(element) x에 대해 그에 대응하는 원소 y가 유일하게 존재한다. 이때 원소 x는 집합 X에 속하고, 원소 y는 집합 Y에 속한다.집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이다.원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of a function) 또는 상(image)이라 한다. 함수값은 f(x)로 표기한다.치역(range): 모든 함수값을 모은 집합으로 f(X)로 표기한다.   즉, 함수 f란, 집합 X의 각 원소 x를 집..

미분의 여러 가지 내용을 증명하는 데 삼각함수의 극한 값들이 중요하게 활용된다. ​ 사인 함수 sinx의 극한 식 1 -|x|≤sinx≤|x|이므로, squeeze theorem을 이용하면, 식 1이 성립함을 확인할 수 있다. sinx/x의 극한 식 2 x 값을 극도록 줄일수록 0.999...로 계산된다. sinπ/x의 극한 존재하지 않는다. x^2(sin(1/x))의 극한 부등식의 관계 -1≤sin(1/x)≤1에 x^2을 곱하면, 식 3 식 3을 얻을 수 있다. 식 4 식 4에 근거해, 식 3에 squeeze theorem을 적용하면, x^2(sin(1/x))은 0이라 할 수 있다. 코사인 함수 cosx의 극한 모든 x에 대해 0≤1-cosx≤|x|이므로, lim_{a→0}(1-cosx)=0이 성립하고..

자연로그 밑 e 자연로그 밑(natural constant) e는 어떤 로그의 밑이 극한값 식 1로 정의될 때의 밑을 의미하며, 실수 중 무리수에 속하는 초월수(transcendental number; 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수)로 분류된다. 약 2.71828로 근사되는 수로 극한값으로 다음과 같이 표현된다. 식 1 u=1/n으로 치환한다면, n→∞일 때 1/n→0이고, e를 식 2로 재정의 할 수 있다. 식 2 그래프 표현 함수 f(x)=(1+x)^1/x의 그래프에서 불연속점 (0, e)를 확인할 수 있다. f(x)=(1+1/x)^x의 그래프에서 점근선 y=e로 나타난다. e의 역사 무리수 e가 최초로 기록된 것은 1618년 존 네이피어(John Napier, 1550..

곱미분 Product Rule(PR) 함수 f와 g(이전 함수, 구함수)가 모두 미분 가능할 때, 이전 함수를 곱하거나 나눔으로써 얻어지는 새로운 함수의 도함수 역시 구할 수 있다. 곱미분은 구함수를 곱하여 얻은 새로운 함수의 도함수를 구하는 방법을 의미한다. ​ 곱미분 Product Rule - PR ​ ■ 두 함수의 곱의 도함수는 앞의 함수에 뒤의 함수의 도함수를 곱한 값에 뒤의 함수에 앞의 함수의 도함수를 곱한 둘을 더한 값과 같다. ​ 만약 세 함수 f, g, h를 곱한 것을 구한다고 하면 곱미분은 다음과 같이 확장될 수 있다. ​ 확장된 곱미분 ​​ ■ ​ 곱미분의 증명 [1] f(x)와 g(x)는 미분가능한 함수이고, 만약 r=f(x)g(x)라 하면, 이다. ​ [2] 여기서 분자 항에 f(x..

상수함수 모든 함수 중 상수함수는 가장 간단한 함수의 형태로 다음과 같이 그래프가 나타난다. 상수함수는 y=c의 꼴로 c는 상수(constant)를 뜻한다. 이 상수함수의 도함수는 아래 식과 같다. ​ 상수함수의 도함수 Constant Rule ■ 상수함수의 도함수는 다음과 같이 증명된다. ​ □ 거듭제곱함수 함수 f(x)=x^n의 n이 양의 정수를 가질 때를 생각해보자. 만약 n=1이라면 f(x)=x^1=1이고, 그래프는 f(x)=x=1의 직선형태로 나타날 것이다. 다음 n이 2, 3일 때를 생각해보자. ​ 1) if n=2 □ 2) if n=3 □ ​ 위의 연산을 반복하면 우리는 어떠한 규칙을 얻을 수 있는데, n이 양의 정수일 때 거듭제곱함수의 도함수는 다음과 같다. ​ 양의 거듭제곱 법칙 ■ 양의..

0/0 부정형 f(x)와 g(x)가 다음과 같다고 하자. 식 1 f(x)/g(x)는 식 1의 조건에 따라 x=a에서 0/0의 부정형 꼴을 갖는다. x-a 지점에서 0/0 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 위해서는 먼저 분자와 분모를 인수분해(factor)한 뒤, 0으로 접근하는 항을 소거(reduce)하도록 한다. EXAMPLE. 다음 식을 구하시오. 식 2 SOLUTION. 식 2에 1을 대입하면 0/0 꼴의 부정형 극한이 나온다. 분자를 인수분해하여 0으로 접근하는 항을 소거하자. 답은 2이다. ■ ∞/∞ 부정형 ​ 여기서 a는 실수, 또는 +∞, 또는 -∞이다. 따라서 f(x)/g(x)는 x=a에서 ∞/∞의 부정형 꼴을 갖는다. ∞/∞ 부정형의 함수 f(x)/g(x)의 극한을 구하기 ..