[대학수학 - 미분적분학] 07. 다항함수의 도함수

 

상수함수

 

모든 함수 중 상수함수는 가장 간단한 함수의 형태로 다음과 같이 그래프가 나타난다.

그림 1. y=2

 

 

상수함수는 y=c의 꼴로 c는 상수(constant)를 뜻한다. 이 상수함수의 도함수는 아래 식과 같다.

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상수함수의 도함수 Constant Rule

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상수함수의 도함수는 다음과 같이 증명된다.

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거듭제곱함수

 

함수 f(x)=x^n의 n이 양의 정수를 가질 때를 생각해보자. 만약 n=1이라면 f(x)=x^1=1이고, 그래프는 f(x)=x=1의 직선형태로 나타날 것이다.

다음 n이 2, 3일 때를 생각해보자.

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1) if n=2

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2) if n=3

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위의 연산을 반복하면 우리는 어떠한 규칙을 얻을 수 있는데, n이 양의 정수일 때 거듭제곱함수의 도함수는 다음과 같다.

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양의 거듭제곱 법칙

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양의 거듭제곱 법칙은 이항정리 식(x+h)^n을 lim에 대입함으로써 증명할 수도 있다.

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한편 음의 정수를 지수로 갖는 거듭제곱의 도함수의 경우에도, 거듭제곱 법칙이 마찬가지로 성립한다. 따라서 음의 거듭제곱 법칙을 양의 것과 결합하여 일반적인 거듭제곱 법칙을 다음과 같이 표현할 수 있다.

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거듭제곱 법칙 - 거듭제곱함수의 도함수

만약 n을 임의의 실수라 하면, 거듭제곱함수의 일반형은 다음과 같다.

 

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거듭제곱함수의 도함수의 몇 가지 예제를 살펴보자.

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거듭제곱 법칙을 이용하면 점 (x, y)에서 접선의 방정식과 법선의 방정식을 매우 쉽게 구할 수 있다.

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접선의 방정식

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법선의 방정식

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새로운 도함수 구하기

 

새로운 함수가 이전의 함수들을 더하거나, 빼거나, 또는 상수배를 하여 만든 것이라면, 그 도함수는 이전 함수들의 도함수로부터 계산된다.

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1. 상수배 법칙: 어떤 함수의 상수 배(multiplication)를 한 함수의 도함수 구하기
2. 합 법칙: 두 함수 이상의 함수를 더한 합성 합수의 도함수 구하기
3. 차 법칙: 두 함수 이상의 함수를 뺀 합성 함수의 도함수 구하기

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상수배 법칙 Constant Multiple Rule

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합 법칙 Sum Rule

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차 법칙 Difference Rule

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