[적분] 18장. 적분법: 삼각치환적분

변수를 직접 적분하기 어려운 경우, 삼각함수의 성질을 활용하여 변수를 삼각함수로 치환하여 적분(삼각치환적분, integration by trigonometric substitution, ITS)할 수 있다.

 

예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해선 ∫(√a^2-x^2)dx (단, a>0이다.)와 같은 형태의 적분을 풀어야 한다. 상술한 적분은 ∫x(√a^2-x^2)dx와는 달리 치환이 어려운 적분으로, 만약 x=a sinθ로 치환하여 변수를 θ로 둔다면, 1-sin^2θ=cos^2θ를 써 근호를 제거할 수 있다.

 

 

일반적인 치환법칙과 구분하여, x=a sinθ는 다음과 같은 차이점을 갖는다.

 

1. 역치환(inverse substitution)

 

 

2. 역치환한 함수가 일대일이면 역치환이 가능하므로, 세타를 다음 구간에 놓인 값으로 제한하여 역치환 x=a sinθ을 얻을 수 있다.

 

 

삼각치환

 

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