【미분적분학 노트 Ⅱ】 34. 일반해와 특수해 (feat. 초기값 문제)

예를 들어,

식 1

 

 

라는 미분방정식은 변수분리법으로 풀이 가능하고 이를 실제로 적용하면,

식 2

 

를 구할 수 있다. 여기서 y는 적분 상수 C를 포함한 일반해(general solution)인데, C에 어떤 값을 넣느냐에 따라 [그림 1]과 같은 해군(family of solutions)을 얻을 수 있다.

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그림 1

 

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특수해 | Particular Solution

임의의 상수를 모두 포함하는 해를 일반해라고 하면, 특정 조건에 의해 특정한 값이 선택되어 질 때, 이 값을 특수해라고 한다.

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[식 1]에 점 (2, 7)을 지나야한다는 조건이 붙는다고 하자. [식 2]에 점 (2, 7)을 대입하면 일반해는,

와 같이 변하는데 이때 C를 3이라 구할 수 있다.

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C=3을 [식 2]에 대입하면,

이 나오는데 이를 특수해(particular solution)라 한다.

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초기값 문제 | Initial-value Problem(IVP)

일반적으로 하나의 미분방정식에는 무한히 많은 해가 존재한다. 따라서 그중 어떤 해를 사용할 것인지 결정하기 위해서는 초기값(initial value)이 필요하다. 초기값이란 특수해를 찾기위해 사용되는 조건값으로 초기값이 주어진 미분방정식을 초기값 문제(IVP)라고 한다.

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[식 1]을 초기값 문제에 활용해 보자. 예를 들어,

라는 초기값을 추가하면 IVP는,

라고 쓸 수 있다.

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만약,

라는 문제가 있다면, 먼저 양변을 적분하여,

y에 대해 일반해 식을 구한다. 다음 초기값 y(x=0)=5를 대입하면,

라고 쓸 수 있는데, 이는 적분 상수인 C를 최종적으로 구하는 데 활용된다.

 

C는 y 식에 다시 대입이 가능하고, 따라서 초기값 문제의 해(특수해)는,

이다.

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2계 미분방정식의 초기값

한편,

식 3

 

와 같은 2계 미분방정식은 특수해를 구하기 위해 2개의 초기값이 필요하다.

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[식 3]을 풀기 위한 IVP는,

와 같이 제시되고 추후 2계 미분방정식의 풀이를 다룰 때 다시 한 번 초기값 문제 풀이에 대해 살펴보도록 한다.

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해의 검증

다음 함수가 초기값 문제의 해인지 확인해보자.

식 4

 

초기값 문제가,

식 5

 

 

일 때, [식 4]가 해가 되기 위해서는 두 가지 조건을 만족해야 한다.

1. 미분방정식 만족
2. 초기조건 만족

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[식 4]를 t에 대해 미분하면,

이다.

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이를 [식 5]에 대입하자.

마지막의 3e^t는 [식 5]의 y(t=0)=3을 또한 만족한다.

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다음 초기조건을 확인한다.

이므로, y(0)=3 또한 만족한다.

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따라서,

는 주어진 초기값 문제에서 해라고 할 수 있다.

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초기값 문제의 구조는,

라고 할 수 있다.