[적분] 12장. 적분: 정적분

곡선함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 방법으로 2가지 근사와 함께 표본점을 이용한 극한 값까지 확인했다. 특히 표본점의 근사식은 곡선의 길이, 입체의 부피, 질중심, 압력에 의한 힘(force) 등 다양한 물리량을 구하는 문제 등에 활용된다. 그러므로 이러한 형태의 극한은 특별한 이름과 기호를 붙일 수 있다.

 

정적분

 

식 12.1

■

 

만일 f가 a≤x≤b에서 정의된 연속함수라면, 구간 [a, b]를 동일한 폭 Δx=b-a/n인 n개의 부분 구간들로 나눌 수 있다. x_0=a, x_1, x_1, ..., x_n=b까지를 부분구간들의 끝점으로 두고 x_1*, x_2*, ..., x_n*을 임의의 표본점이라 하면, x_i*는 i번째의 부분구간 [x_i-1, x_i]에 놓이게 된다. 그러면 a에서 b까지의 정적분을 식 12.1과 같이 정의할 수 있다.

 

- 극한이 존재할 때, f는 [a, b]에서 적분가능(integrable)하다고 한다.

 

정적분의 정의는 독일의 수학자 리만이 정립하였고, 그의 이름을 딴 리만합(Riemann sum)은 다음과 같다.

 

Bernhard Riemann (1826~1866, 독일 - 하노버 왕국)

 

리만합

■

 

 

적분법에 쓰이는 기호

 

적분에 쓰이는 기호는 다음과 같다.

 

 

1. ∫: 적분기호(integral)

2. f(x): 피적분함수(integrand)

3. ∫의 a, b(식 12.1 참고): 적분한계(limits of integration)

- a: 하한(lower limit)

- b: 상한(upper limit)

 

4. dx: 독립변수 x

 

정적분의 결과는 하나의 수로서 x에 독립적이다.

 

 

정적분의 해석

함수 f가 양의 값을 가질 때, 리만합은 직사각형의 넓이의 합과 같다.

 

만약 f가 양의 면적과 음의 면적을 모두 가진다고 하자. 그러면 리만합은 x축을 기점으로 위의 면적과 아래 면적을 합한 값을 갖는다.

 

양의 면적과 음의 면적

 

x축 아래 놓인 직사각형의 넓이는 음수부호를 가지므로, 리만합은 위의 면적의 총합에서 아래 면적의 총합을 뺀 값과 같다.

 

알짜넓이

 

■

 

정적분은 f(x)가 그리는 면적의 '알짜넓이(net area)'로 볼 수 있다.