[적분] 11장. 적분: 입문

적분의 기원

적분의 기원은 고대 그리스 시대의 수학자 아르키메데스(시라쿠사 출신)가 곡선을 가진 도형의 면적과 부피를 구함에 있어, 오늘날의 적분과 유사한 방법을 사용한 데서 출발한다.

 

Archimedes of Syracuse (B.C. 287 ~ B.C 212, 시라쿠사 섬(이탈리아) 출신의 그리스)

 

이후 1622년 이탈리아의 수학자 카발리에리(Bonaventura Francesco Cavalieri; 밀라노 출신)가 무한의 개념을 도입해, 곡선으로 둘러싼 도형의 면적은 매우 폭이 좁은 직사각형들의 면적의 합이라는 주장을 한다.

 

Bonaventura F. Cavalieri (1598~1647, 이탈리아)

 

 

 

 

※ 참고: [미분] 1장. 들어가기: 미분적분학

 

https://herald-lab.tistory.com/2

[미분] 1장. 들어가기: 미분적분학

우리는 곡선 함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 두 가지 근사를 살펴보았다.

 

(1) 오른쪽 근사

(2) 왼쪽 근사

 

곡선 아래 면적에 대한 왼쪽 근사와 오른쪽 근사

 

왼쪽 근사와 오른쪽 근사는 끝점(endpoint)의 위치차이로 인해 면적을 다르게 측정한다.

 

근사의 아이디어를 이제 일반적인 영역 S에 적용시켜보자.

 

곡선 그래프의 밑면적 S

 

 

[1] 넓이 S를 동일한 폭을 갖는 n개의 직사각형으로 나눈다.

[2] 구간 [a, b]의 폭의 값은 b-a이다. ⇒ n개의 각 직사각형의 폭은,

 

Δx = b-a/n

 

이다.

 

[3] 직사각형은 구간 [a, b]에서 n개의 부분 구간들로 분할 될 수 있다.

 

 

[4] 부분구간의 오른쪽 끝점을 다음과 같이 적을 수 있다.

 

 

[5] i번째 곡선 아래 영역 S_i를 폭 Δx와 높이 f(x_i)인 직사각형 영역으로 근사시킬 수 있다.

 

 

[6] 영역 S의 넓이는 이 직사각형들의 넓이 합에 근사한다.

 

식 11.1

 

[7] 부분 구간의 왼쪽 끝점이나 오른쪽 끝점 대신, i번째 직사각형의 높이를 i번째 부분구간 내에 있는 임의의 점 x_i*에 대한 f의 값으로 선택할 수 있다. 이때 점을 표본점(sample point)이라고 하고, 이를 이용해 영역 S의 일반적인 넓이 식을 유도할 수 있다.

 

sample points

 

표본점으로 나타낸 넓이의 정의

 

■

 

R_n 식은 많은 항을 가짐으로 더욱 간결한 표현을 위해 시그마(sigma) 기호를 사용할 수 있다.

 

 

시그마 표현을 활용하면,

 

식 11.2

식 11.2을 다음과 같이 적을 수 있다.

 

식 11.3

 

식 11.3은 식 11.1의 R_n과 정확히 같은 표현이다!