적분의 기원은 고대 그리스 시대의 수학자 아르키메데스(시라쿠사 출신)가 곡선을 가진 도형의 면적과 부피를 구함에 있어, 오늘날의 적분과 유사한 방법을 사용한 데서 출발한다.
이후 1622년 이탈리아의 수학자 카발리에리(Bonaventura Francesco Cavalieri; 밀라노 출신)가 무한의 개념을 도입해, 곡선으로 둘러싼 도형의 면적은 매우 폭이 좁은 직사각형들의 면적의 합이라는 주장을 한다.
※ 참고: [미분] 1장. 들어가기: 미분적분학
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우리는 곡선 함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 두 가지 근사를 살펴보았다.
(1) 오른쪽 근사
(2) 왼쪽 근사
근사의 아이디어를 이제 일반적인 영역 S에 적용시켜보자.
[1] 넓이 S를 동일한 폭을 갖는 n개의 직사각형으로 나눈다.
[2] 구간 [a, b]의 폭의 값은 b-a이다. ⇒ n개의 각 직사각형의 폭은,
Δx = b-a/n
이다.
[3] 직사각형은 구간 [a, b]에서 n개의 부분 구간들로 분할 될 수 있다.
[4] 부분구간의 오른쪽 끝점을 다음과 같이 적을 수 있다.
[5] i번째 곡선 아래 영역 S_i를 폭 Δx와 높이 f(x_i)인 직사각형 영역으로 근사시킬 수 있다.
[6] 영역 S의 넓이는 이 직사각형들의 넓이 합에 근사한다.
[7] 부분 구간의 왼쪽 끝점이나 오른쪽 끝점 대신, i번째 직사각형의 높이를 i번째 부분구간 내에 있는 임의의 점 x_i*에 대한 f의 값으로 선택할 수 있다. 이때 점을 표본점(sample point)이라고 하고, 이를 이용해 영역 S의 일반적인 넓이 식을 유도할 수 있다.
표본점으로 나타낸 넓이의 정의
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R_n 식은 많은 항을 가짐으로 더욱 간결한 표현을 위해 시그마(sigma) 기호를 사용할 수 있다.
시그마 표현을 활용하면,
식 11.2을 다음과 같이 적을 수 있다.
식 11.3은 식 11.1의 R_n과 정확히 같은 표현이다!
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