[미분] 8장. 도함수: 삼각함수의 도함수

삼각함수(trigonometric function): 각도와 관련된 여러가지 함수

- 삼각함수는 기본적으로 3가지 함수-sine 함수, cosine 함수, tangent 함수-가 있으며, 이들의 역수-cosecant, secant, cotangent-를 모두 합치면 총 6개이다.

 

삼각함수의 정의

 

삼각함수는 먼저 직각삼각형을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

 

삼각함수의 직각삼각형 정의의 역수는 각각 코시컨트, 시컨트, 그리고 코탄젠트의 정의와 같다.

 

또한 단위원(unit circle; 반지름 r이 1인 원으로 원점 (0, 0)을 중심으로 한다.)으로 삼각함수를 정의할 수도 있다.

 

 

반지름을 r이라 둘 때, 각 삼각함수의 정의는 다음과 같이 정리한다.

 

1. sinθ = y/r

2. cosθ = x/r

3. tanθ = y/x = sinθ/cosθ

4. secθ = 1/cosθ

5. cscθ = 1/sinθ

6. cotθ = 1/tanθ = cosθ/sinθ

 

sine 그래프와 cosine 그래프, 그리고 tangent 그래프는 아래와 같이 그릴 수 있다.

 

 

삼각함수의 성질

삼각함수는 다양한 정의만큼 여러가지 성질을 가지고 있는데, 자주 사용하는 삼각함수의 성질을 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

1. 주기성: 삼각함수의 그래프를 통해 이들이 2π(sine, cosine) 혹은 π(tangent)의 주기(period)를 가짐을 알수 있다.

2. 특수각에서의 삼각함수의 값

 

수학 공부를 할 때, 특수각에서의 삼각함수의 값은 사실상 '암기사항'에 가깝다.

 

3. 항등식(trigonometric identity): 삼각함수가 나오는 항등식으로 복잡한 삼각함수 식을 간단히 정리하는 데 유용하다.

- 특히 적분 파트의 삼각치환적분(trigonometric substitution)에서, 매우 자주 쓰일 예정이다.

 

(1) 피타고라스 정리

 

삼각함수의 피타고라스 정리

 

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- 여기서 sin^2(x)는 (sinx)^2과 같다.

 

 

(2) 삼각함수의 덧셈정리

 

두 삼각함수를 연결하는 연산자의 종류에 따라 2가지 항등식을 가지며, 이들은 삼각함수의 가법으로 쉽게 유도할 수 있다.

 

삼각함수의 가법

 

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삼각함수의 합곱 변환식

 

삼각함수의 곱합 변환식

 

 

(3) 삼각함수의 배각공식(double-angle formula)

 

삼각함수의 가법으로 배각공식을 유도할 수도 있다.

 

배각공식

 

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(4) 사인법칙과 코사인법칙

 

 

삼각함수의 도함수

삼각함수의 도함수에 들어가기에 앞서 삼각함수의 극한 값으로 두 가지 식을 확인하자.

 

 

소개한 두 극한 값은 삼각함수의 도함수를 구할 때 매우 중요하게 쓰인다. 하지만 여기서는 도함수의 활용에 더욱 집중하여 증명은 생략하도록 한다.

 

도함수의 기본정의를 통해, 삼각함수와 역삼각함수의 도함수는 아래의 도표와 같이 정리할 수 있다.

 

 

도함수 표는 다양한 삼각함수의 역함수를 담고 있는데, 이들의 활용은 추후 예제 풀이를 통해 확인하도록 하자.