[미분] 6장. 도함수: 다항함수의 도함수

『De analysi(무한급수에 의한 해석학에 관하여)』는 뉴턴의 수학적 발견을 상당량 수록하고 있는데, 거듭제곱의 법칙도 그 중 하나이다.

 

자주 사용되는 함수-미분 공식 중 다항함수와 관련된 것들을 살펴보자.

 

1. 상수함수

 

모든 함수 중 상수함수는 가장 간단한 함수이다.

 

 

상수함수의 도함수

 

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- d/dx는 미분연산자로 뒤에 나타난 함수를 미분한다는 뜻이다.

 

PROOF. 상수함수의 도함수

 

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2. 거듭제곱함수

 

함수 f(x)=x^n의 n이 1이면, x^1=x이고, 그래프는 직선 f(x)=x로 그려진다. 이것의 기울기는 1이고, 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

dx^1/dx=1

 

x가 2, 3일 때, 대입하면 2x, 3x^2인 것을 알 수 있다.

 

식 6.1

 

식 6.1을 양의 거듭제곱 법칙이라 하고, 증명은 다음과 같다.

 

PROOF. 양의 거듭제곱 법칙

 

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음의 정수를 지수로 갖는 거듭제곱의 도함수도 역시 거듭제곱의 법칙(power rule)이 성립한다. 따라서 power rule은 일반적으로 다음과 같이 정의한다.

 

 

거듭제곱의 법칙

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새로운 도함수

새로운 함수가 이전의 함수들을 더하거나 빼거나 혹은 상수배하여 만들어진 것이라면, 그 도함수는 이전 함수의 도함수에 의해 계산된다.

 

1. 상수배 법칙(constant multiple rule)

2. 합 법칙(sum rule)

3. 차 법칙(difference rule)

 

상수배 법칙

 

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합 법칙

 

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차 법칙

 

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- f와 g는 x에 대한 함수이며, c는 constant이다.

 

 

미분은 선형연산자(linear operator)로, 두 함수의 미분을 구할 때 각 함수의 미분값을 따로 구해 이들을 합침으로써 값을 구할 수 있다.

- (f+g)의 미분 값은 (f의 미분 값) + (g의 미분 값)과 같다.

- (cf)의 미분 값은 c(f의 미분 값)과 같다. 단, 여기서 c는 마찬가지로 상수를 의미한다.

 

PROOF. 상수배 법칙

 

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PROOF. 합 법칙

 

 

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