【미분적분학 노트 예제】 01. 치올콥스키 로켓 방정식 (※연계 - 곱미분)

 

복습: 곱미분과 몫미분

Review: Product Rule(PR) and Quotient Rule(QR)

 

곱미분과 몫미분은 두 함수가 곱한 형태 또는 나누어진 형태일 때의 변화율을 계산하는 규칙(미분법)이다.

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곱미분

예를 들어,

식 1

 

라는 함수를 x에 대해 미분한다고 할 때,

라는 곱미분 공식을 활용하여 풀 수 있다.

• (첫 번째 함수는 미분하고 두 번째 함수는 그대로 둔 값) + (첫 번째 함수는 그대로 두고 두 번째 함수는 미분한 값)

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[식 1]의 함수를 두 개의 함수로 분리하면,

이고 이들을 미분한 값은 각각,

이다. 이들을 곱미분 식에 대입하면,

이다.

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만약 세 개 이상의 함수가 곱해진,

함수의 곱미분 식은 확장된 곱미분 식을 활용한다.

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확장된 곱미분

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확장된 곱미분은 각각의 인자를 한 번씩 미분한 항들을 모두 더한 값이다. 이 원리는 함수가 n개로 늘어나도 같은 식으로 확장된다.

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몫미분

식 2

 

[식 2]와 같은 함수를 미분할 때, 몫미분은 다음과 같이 전개한다.

• 조건: g(x)는 0이 아니어야 한다.

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좀 더 간단한 형태는 다음과 같다.

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예를 들어,

 

는 f(x)=x^2+1, g(x)=x+1이 f(x)/g(x) 형태인 함수이며, 둘을 미분한 값을 먼저 정리한 뒤,

몫미분 식에 대입하면,

이다. 이들을 정리하면,

으로 최종 계산된다.

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치올콥스키 로켓방정식

Tsiolkovsky Rocket Equation

 

Konstantin Tsiolkovsky, 1857-1935

 

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폴란드계 러시아인 공학자 콘스탄틴 치올콥스키(Konstantin Tsiolkovsky, 1857-1935)는 로켓 개발의 초기 역사를 이끌 다양한 수학적 이론을 정립했다. 특히 고전 역학을 응용한 로켓 추진(rocket propulsion) 분야에 그의 업적이 매우 두드러 진다. 로켓 추진의 간단한 원리를 알아본 뒤, 그의 로켓 방정식을 확인하자.

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물체의 운동량: 질량 × 속도

움직이는 물체의 질량이 m이고 속도가 v일 때, 물체의 (선)운동량은 다음과 같이 계산한다.

식 3

 

일반적으로는 물체가 움직일 때 변화하는 것은 속도뿐이기 때문에, [식 3]에 물리량을 단순 대입하여 운동량을 구할 수 있다. 그러나 움직이는 물체의 질량과 속도 모두 시간에 따라 일정하지 않다면,

식 4

 

[식 4]와 같이 시간 미분을 취할 수 있는데, 이때 p는 두 물리량 함수가 곱해진 것과 같기에 앞서 배운 곱미분을 해주었다.

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여기서 m(dv/dt)의 dv/dt는 가속도와 같고 따라서,

로도 식을 고쳐 쓸 수 있다.

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시간에 따라 운동량이 변화할 때 질량이 일정하다면, dm/dt=0이므로 익숙한 공식,

식 5

 

이 나오는데, 이때 [식 5]는 뉴턴의 운동 제2법칙,

이다.

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로켓의 질량은 계속 감소한다

 

그림 1. 로켓의 추진: 로켓은 연료를 연소시켜 연소 가스 dM를 내보내 기체를 추진한다.

 

 

로켓은 [그림 1]과 같이 연료를 연소(ejection of mass)시킴으로써 추진(thrust)된다. 이때 연소시키는 연료의 질량은 로켓 전체 질량 m에 비해서도 상당히 값이 크므로, 시간이 지날수록 로켓 전체 질량 m은 아래 관계식을 만족한다.

단, 질량이 감소하는 만큼 로켓의 속도(속력)는 증가하는데, 로켓과 배출된 가스를 하나의 폐쇄계로 잡으면 운동량 보존 법칙은 계속 성립한다.

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이상적 로켓 모델

 

그림 2. 로켓 모델 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.457]

 

[그림 2]와 같은 로켓 움직임을 분석하기 위해 아래와 같은 가정이 우선 필요하다.

• 로켓은 1차원 운동을 하며, 이는 x축 좌표계 만으로 충분히 표현 가능하다.
• 로켓에 걸리는 중력 및 각종 저항(력)이 무시된다. ⇒ 외력 무시
• 아주 짧은 시간 dt 동안에는 아주 작은 질량 dm_g 만큼의 배기가스를 배출한다.
• 배기가스의 로켓에 대한 상대속력은 일정하다.

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로켓의 운동량 변화

처음 로켓 운동량은,

이다. 하지만 로켓이 추진된 이후 배출된 질량 dm_g만큼의 감소 및 dv 만큼의 로켓 속도 증가를 나중 로켓 운동량에 반영하면,

와 같다.

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위 두 식은 각각 처음(i) 운동량과 나중(f) 운동량으로, 나중 값에서 처음 값을 빼면 이는 운동량의 변화량(dp=p_f-p_i)이고,

와 같이 쓸 수 있다. 계속 전개하면,

이고 따라서,

라 할 수 있는데, 여기서 (dm_g)(dv)는 두 개의 매우 작은 변화량의 곱이므로 근사하여 무시하도록 한다.

 

• 로켓의 질량 감소가 로켓의 운동량 변화에 기여한다.

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배기가스의 운동량

[그림 2]와 같이 로켓으로부터 방출된 배기가스는 로켓 뒤쪽으로 속력 u만큼 분사된다. 로켓의 속도가 v일 때 지면과 같은 관성계에서의 배기가스 속도는,

이다. 로켓 자체는 +v로 이동하나, 배기가스는 로켓에 대해 반대방향으로 움직이기에 그 속도는 -u로 표현되고, 이를 배기가스의 운동량 p_gas로 나타내면,

이다.

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로켓과 배기가스 전체의 운동량 보존

로켓에서의 전체 계를 (로켓 + 방출된 배기가스)로 잡았을 때, 외력이 없는 조건에서 처음에는 모든 질량이 로켓에 들어있기에,

라 쓸 수 있다. 그리고 나중은 p_gas를 포함하여,

일 것이다. 운동량 보존에 의해,

을 만족한다면,

이고, (dm_g)v가 서로 소거되어,

로 계산된다. (dm_g)(dv)는 두 개의 매우 작은 변화량의 곱으로 앞선 논리와 마찬가지로 다시 소거하면,

식6

 

 

라는 식을 얻는다.

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만약 로켓의 현재 질량이 m=1000kg에, 추력을 위해 방출된 기체의 질량이 dm_g=+5kg이라면, 로켓의 질량 변화량 dm은,

일 것이다. [식 6]의 두 질량은 서로 주체가 다르기 때문에 '로켓 질량 m'에 맞추면 아래 관계식을 얻을 수 있다.

위 관계식을 이용해 [식 6]을,

 

식 7

 

[식 7]처럼 정리한다.

 

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로켓 방정식 유도

[식 7]에서 m을 좌변으로 넘기면,

이다. 여기서 배기가스의 배출속력인 u는 비교적 일정한데 이를 반영하면,

과 같이 적분했을 때 상수로 나오고, 왼쪽(좌변)은,

오른쪽(우변)은,

로 계산된다.

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이 둘을 합치면,

이고, 좌변의 마이너스 부호를 지우기 위해 로그의 성질까지 이용하면 최종적으로 아래와 같은 치올콥스키 로켓 방정식을 얻을 수 있다.

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치올콥스키 로켓 방정식

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