【예제 - 고전역학】 08. 뉴턴의 운동 제2법칙: 가속도의 법칙

 

 

복습: 뉴턴의 운동 제2법칙

Review: Newton's Second Law of Motion

 

외력과 내력 | External and Internal Forces

뉴턴의 운동 제2법칙은 힘(力, force)과 가속도의 관계를 직접적으로 설명한 식으로 여기서 힘은 관심 대상인 물체 또는 계(system)에 따라 두 가지로 나뉜다.

1. 외력(external force): 관심 대상인 물체 또는 계 외부로부터 작용된 힘
2. 내력(internal force): 관심 대상인 물체 또는 계 내부의 구성 요소 사이에 작용하는 힘

​

그림 1. 자동차에 작용한 외력과 내력 [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.217]

 

예를 들어, [그림 1]과 같이 자동차와 운전자를 하나의 계로 설정했을 때, 외력과 내력은 다음과 같다.

1. 외력: 자동차를 미는 두 사람의 힘 F_1, F_2, 지면에 작용한 마찰력 f, 중력, 수직항력
2. 내력: 운전자가 자동차 핸들을 잡았을 때 운전자와 핸들 사이에 작용한 힘

​

Newton의 운동 제2법칙에서 힘을 규명하기 위해서는 계의 경계를 먼저 정하고, 그 계에 작용하는 외력을 식별해야 한다.

​

뉴턴의 운동 제2법칙

Newton이 주장한 운동의 변화란 궁극적으로 속도의 변화를 의미한다. 그리고 속도가 변한다는 것은 가속도가 존재함을 뜻한다.

​

그림 2. 같은 힘 F에 대해 질량이 클수록 가속도는 질량에 반비례한다. [출처: 『Openstax University Physics - Volume 1』, p.219]

 

뉴턴의 운동 제2법칙은 실험적으로 확인된 두 가지 사실로부터 그 식을 얻는다.

1. 질량 m이 일정할 때, 가속도는 물체에 작용한 외력에 정비례한다.
2. 알짜힘 F가 일정할 때, 가속도는 질량에 반비례한다.[그림 2]

​

위 둘은 각각 비례식으로,

 

로 표현한다.

• 같은 질량체에 대해 힘의 크기가 클수록 가속도는 비례하여 커진다.
• 같은 힘을 가할 때 질량이 큰 물체일수록 가속도는 작아진다.

​

뉴턴의 운동 제2법칙

■

​

알짜힘(net force)는 물체에 작용한 모든 외력을 벡터합(resultant)한 결과로,

라고도 표현한다.

​

마지막으로 1[N]은,

이다.

​

EXAMPLE 1. 축구공에 작용하는 힘

만약 질량이 0.4[kg]인 축구공의 가속도가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

이때 알짜힘의 벡터 크기와 방향을 구하시오.

​

SOLUTION.

Newton의 운동 제2법칙을 알짜힘에 대해 다시 정리하면,

와 같이 식을 변형해 사용할 수 있다.

​

이미 질량 m과 가속도 a를 알고 있으므로, 대입하면,

이고,

​

각 성분에 대해 벡터 힘의 크기를 구하면,

이다.

​

알짜 힘의 전체 크기는 각 성분의 힘 크기를 피타고라스 정리에 대입해,

로 풀 수 있다.

​

한편 알짜 힘의 방향은,

로 구한다. 역탄젠트를 취한 최종 값은 양의 x축에서 반시계 방향으로 측정한 각도 θ이다.

□

​

EXAMPLE 2. 여러 힘이 작용하는 경우

 

그림 3

 

[그림 3]과 같이 질량이 4.0[kg]인 물체에 네 개의 힘이 작용한다고 하자.

각각의 힘에 의한 가속도를 구하고 가속도 벡터로 표현하시오.

​

SOLUTION.

[그림 3]과 같이 주어진 힘은 x축과 y축으로 힘이 나뉜다. 특히 F_1은 양의 x축에 대해 30도의 각을 이루므로,

로 힘을 분리할 수 있다. 둘에 수치를 대입하면,

이다.

​

이제 x축과 y축 각각에 대해 모든 힘을 더해보자. 먼저 x축의 힘을 더할 때, 오른쪽을 양의 방향으로 설정하면,

로 a_x는,

이다. ⇒ 오른쪽을 양의 방향이라 했으므로 위 물체는 오른쪽으로 위 수치만큼의 가속도를 갖는다.

​

한편 y축의 힘을 더할 때, 위쪽을 양의 방향으로 설정하면,

로 a_y는,

이다.

• 가속도의 음수 부호는 가속도가 아래쪽을 향함을 뜻한다.

​

두 성분을 가속도 벡터로 표현하면,

이다.

□

​

EXAMPLE 3. 공기 중 질소 분자 간 충돌

공기 중 질소 분자는 평균 속력,

로 움직이며, 질량은,

이다. 오른쪽 벽에 부딪힌 질소 분자가 반대 방향으로 같은 속력으로 튕겨져 나가는 데, 3.00×10^-13[초]라 하면, 시간 간격 동안 분자의 평균 가속도 및 분자가 벽에 가하는 평균 힘은 얼마인가?

​

SOLUTION.

평균 가속도는,

로 계산할 수 있다. 오른쪽을 양의 방향으로 두었을 때, 속도 차(Δv)인 충돌 후 속도(f) - 충돌 전 속도(i)는 아래와 같이 구한다.

충돌에 소요된 시간 또한 문제에 주어졌으므로 대입하면,

이다.

​

다음, 질소 분자가 벽에 가하는 평균 힘은 Newton의 운동 제2법칙을 응용해,

에 수치를 대입하여 구한다.

위 수를 계산하면,

이다.

​

위 값은 (-)부호에 따라 벽이 질소 분자에 가하는 평균 힘으로 해석한다. 하지만 문제는 분자가 벽에 가하는 평균 힘을 구하라고 했다. 따라서, 이후 배울 뉴턴의 운동 제3법칙에 근거하여,

로 그 값을 정리할 수 있다. ⇒ 질소분자는 위의 힘 크기만큼을 오른쪽 방향으로 (오른쪽) 벽에 가한다.