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【미분적분학 노트】 26. 삼각함수 부정적분 (기본형) ※예제포함 본문
이번 챕터에서는 여섯 개의 대표적인 삼각함수 부정적분을 알아본다.
삼각함수 부정적분
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위의 삼각함수 부정적분은 어떤 특정한 피적분함수를 했을 때, sin, cos, tan 함수와 이들의 역함수(총 6개)가 적분의 결과로 나온다.
- 피적분함수: sin, cos, sec^2, csc^2, sec·tan, csc·cot
- 삼각함수를 포함한 피적분함수의 부정적분은 여러 가지 공식을 활용해 삼각함수 부정적분이 나오게끔 먼저 연산해야 한다.
삼각함수의 도함수와 부정적분
Derivatives of Trigonometric Functions and Their Indefinite Integrals
【10. 미분법: 삼각함수의 도함수】에서 우리는 삼각함수의 6가지 기본 도함수를 알아보았다.
https://blog.naver.com/moduphysics/224253008403
【미분적분학 노트】 10. 미분법: 삼각함수의 도함수 (feat. 삼각함수 개념 정리)
삼각함수 삼각함수(三角函數, trigonometric functions): 각도와 관련한 여러가지 함수로 기본적으로 세 가...
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이들의 부정적분은 도함수한 결과를 피적분함수로 대입함으로써 대부분 쉽게 계산된다.
우선, 가장 간단한 sinx와 cosx의 도함수 식을 통해 같은 함수의 부정적분을 구해보자.
- d[cosx]/dx의 미분 결과인 -sinx를 피적분함수에 넣으면 ∫[-sinx]dx=cosx+C가 나오는 데, 여기에 (-1)을 양변에 곱해주면, ∫[sinx]dx의 부정적분 식으로 내용을 정리할 수 있다. 단, 부정적분에서 적분상수의 부호는 단순히 family를 이룬다는 의미이므로, -C라고 쓰지 않음에 유의한다.
다음, sec^2, -csc^2를 피적분함수로 두고 부정적분을 하면, tanx, cotx를 얻을 수 있다.
- -sinx를 피적분함수에 넣을 때와 같이, -csc^2를 피적분함수에 대입할 때 양변에 (-1)을 곱해준 것을 최종적인 부정적분 식으로 삼는다.
삼각함수의 6가지 도함수 중 나머지 삼각함수 합성함수의 부정적분 식 2개는 아래와 같이 정리된다.
PROOF. ∫sec^2(x)dx 부정적분 구하기
삼각함수의 피타고라스 정리 중, 아래의 식은 sec^2의 부정적분을 구하는 데 핵심적이다.
피적분함수로 sec^2(x)를 넣을 때 부정적분 식은,
로 바꿀 수 있고 우변을 직접 계산하면,
가 되어 최종적으로,
이 된다.
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예제 1
다음 부정적분을 구하시오.
SOLUTION.
예제 2
SOLUTION.
위의 피적분함수에서 cos^2(x)는 삼각함수의 피타고라스 정리 중,
으로 바꾸어 쓸 수 있다.
따라서 피적분함수를,
로 고쳐쓸 수 있고,
으로 피적분함수를 계산할 수 있다. 1-sinx를 부정적분 식에 대입하면,
이다.