【물리학 - 전자기학】 06. 전기장 <PART2>

 

다점전하계

Multiple Source Charges System

 

전기장의 개념을 이야기할 때, 그 정의를 원천 전하의 대전체의 주변공간 영역에 퍼져 존재하는 공간 성질로 정의했는데, 이 원천 전하가 다수일 때 이를 다점전하계(multiple source charge system)[그림 1]라한다.

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그림 1. 다점전하계 [출처: Univeristy Physics Vol 2, Openstax, p.195]

 

 

주어진 N개의 전하가 있을 때, 시험전하에 가해지는 전기력 식 쿨롱의 법칙은 다음과 같다.

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다점전자계 쿨롱의 법칙

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<물리량>

• Q: 시험전하, 전기력 벡터 F를 경험하는 입자의 전하
• q_i: N개의 원천 전하

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시험전하에 작용하는 순 전기력은 각각의 개별 시험전하에 작용하는 각각의 개별 전기력의 벡터합과 같다.

• 중첩의 원리(principle of superposition): 여러 개로 작용한 알짜힘은 개별적인 힘들을 벡터적으로 더한 결과이다.
• 문제를 단순화하기 위해 source charge는 고정시킨다.

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같은 논리로 다점전하계의 전기장은 아래와 같이 수식으로 정리된다.

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다점전자계 전기장

 

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전기장은 전기력과 마찬가지로 벡터합으로 표현될 수 있다.

 

연속전하분포

Continuous Charge Distribution(CCD)

 

연속전하분포의 전기장 | Electric Field of CCD

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지금까지 살펴본 전하 분포는 불연속적 상태로 개별 점입자에 의존했었다. 만약 전하 분포가 [그림 2]와 같이 연속적일 때 전기장을 어떻게 구해야 하는 지 알아보자.

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그림 2. 미소전하요소 dq와 전하분포 [출처: Univeristy Physics Vol 2, Openstax, p.205]

 

 

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[그림 2]의 작은 전하요소 dq(dl, dA, dV)는 점전하와 마찬가지로 전기장을 형성한다. 미소전하요소(charge element)에 의한 전기장 식은 아래와 같다.

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hat r은 미소전하요소에서 시험전하로 향하는 단위벡터이다.

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미소전하요소가 모인 전하체의 총 전기량은 시그마 기호 ∑를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다.

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전하분포가 연속적이므로 Δq_i가 Δq_i→0인 극한에서 지점 P에서 전기장은 다음과 같이 계산된다.

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연속전하분포 전기장

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연속전하분포의 총 전기장 식으로 적분구간은 전체 전하분포영역과 같다.

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선, 표면, 부피의 미소전하량

[그림 2]와 같이 미소전하량은 선, 표면, 부피에 나타날 수 있다. 특정한 차원 공간에서의 전체량은 밀도를 통해서 간접적으로 계산가능한 데, 예를 들어 물이 담긴 박스의 밀도 ρ는 (물의 질량 m)/(박스의 부피 V)로 계산할 수 있다.

 

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같은 논리로 어떤 부피에 존재하는 전체 전하량의 밀도 또한 아래와 같이 풀어 쓸 수 있다.

 

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여기서 Q는 부피 V에 담긴 전체 전하량으로 (밀도)×(부피)로 전체 전하량을 계산할 수 있을 것이다.

 

 

 

위의 논리로 표면 A[㎡]에 존재하는 전체 전하량, 선 l[m]에 존재하는 전체 전하량도 다음과 같이 구할 수 있다.

 

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<물리량>

• ρ: 부피밀도
• σ: 면적밀도
• λ: 선밀도

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어떤 공간의 밀도는 이미 조건에 주어진 상수값으로 임의의 공간으로 한정하여도 그 값은 일정하다. 따라서 미소전하량 dq 또한 임의로 한정된 부피, 면적, 선에 대해 아래와 같이 쓰일 수 있다.

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미소전하량

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위의 미소전하량은 연속전하분포 전기장 식의 dq와 정확하게 의미가 같다. 따라서 부피(volum), 면적(surface, area), 선(line) 연속전하분포 전기장 식을 다음과 같이 최종적으로 쓸 수 있다.