【물리학 - 열역학】 07. 기체분자운동론 <PART 1>

​

이상기체분자의 거동

Behaviors of an Ideal Gas

 

기체분자운동론을 고전역학적으로 설명하는 데 있어 첫 번째 가정은 이상기체의 분자모형을 설정하는 것이다. 크게 5가지의 가정은 둔다.

1. 기체의 분자 수는 무수히 많고 분자 사이의 평균거리가 분자의 자체 크기보다 훨씬 크다. ⇒ 기체분자의 부피는 무시하나 질량은 고려한다.
2. 각 기체분자는 뉴턴의 운동법칙을 따르지만, 기체 간의 힘을 고려하지는 않아 마구잡이로 움직인다고 가정한다. ⇒ 기체 분자의 무질서 운동
3. 탄성 충돌이 일어나는 동안 분자 사이에는 근거리 힘만 작용한다.
4. 기체 분자는 벽과 탄성충돌(완성탄성충돌)을 한다. 이러한 충돌은 용기의 벽에 거시적인 물리량인 압력으로 반영된다.
5. 기체 분자는 순수한 단일 물질로 용기 내의 모든 분자는 동일한 특성을 지닌다.

​

 

그림 1. 기체분자의 움직임 방향성

 

 

​

이상기체분자의 압력표현

한 변의 길이가 d인 정육면체의 부피가 V인 용기에 N개의 이상기체 분자가 있다고 하자. 이상기체분자 거동 모델링을 위한 첫 번째 목표는 이상 기체의 거시적인 변수인 압력 p를 미시적인 물리량으로 표현하는 것이다.

​

1단계: 특정 기체분자(i)의 용기에 대한 거동

​

그림 2. 이상기체분자가 용기에 가하는 힘의 방향 [출처: Openstax University Physics Vol 2 (Ling et al, 1st ed., 2017, p.79)]

 

 

​

질량이 m_0인 여러 기체분자들 중 x축의 속도성분을 가진 하나의 특정 분자(i)를 선택한다. 분자가 벽과 탄성충돌하면 벽의 질량이 분자의 질량에 비해 매우 크므로 벽에 수직인 분자의 속도 성분은 정반대[그림 2]가 된다.

​

​

 

그림 3. 기체분자의 운동량 변화  [출처: University Physics with Modern Physics (Bauer et al, 2nd ed., 2014, p.591)]

 

벽의 충격량과 분자의 운동량 변화는 서로 같다. x축의 우측으로 일정한 속력을 가지고 움직이던 기체분자는 벽면에 충돌한 뒤, 같은 속력으로 왼쪽으로 튕기게 된다. 벽면은 기체에 대해 좌측으로 힘을 준 것과 같다[그림 3].

​

​

​

2단계: 두 번째 충돌

v_x, i의 속력을 가진 기체 분자가 벽과 충돌한 이후 같은 벽에 두 번째로 충돌하기 위해서는 x축으로 용기를 왕복해야만 한다. 용기의 한 변을 d로 가정했기 때문에 왕복한 거리는 2d가 되고 따라서 걸린 시간은 다음과 같이 계산된다.

 

기체 분자는 탄성충돌을 하기 때문에 속력이 일정하게 유지된다.

• Δt_sec: 첫 번째와 두 번째 충돌 사이의 시간 간격

​

3단계: 왕복 운동이 여러 번 반복될 때, 한 번 왕복하는 동안의 평균 운동량 변화는 충돌이 일어난 시간 간격 동안의 운동량 변화와 같다.

다음, 충돌 시 분자의 운동량을 변화시키는 힘인 충격력은 두 물체의 충돌순간인 Δt동안에 발생한다. x축으로 기체분자는 왕복운동 중 1회의 벽면 충돌을 갖는데, 이 때문에 '1회 충돌 시 기체분자의 운동량 변화'와 '충돌 이후 왕복 운동 중 1회 충돌 시 기체분자의 운동량 변화'는 서로 같은 의미이다.

• 기체가 정육면체의 용기 내부를 왕복하는 동안 벽이 작용한 평균력을 구할 수 있다.

​

분자가 용기 내부를 한 번 왕복하는 동안 충돌은 단 한 번 발생한다.

• 매 시간 간격에 대해 벽에 정확히 한 번의 충돌만 발생하므로 이 결과는 Δt의 배수가 되는 긴 시간 간격 동안 기체 분자에 작용하는 평균력이다.

 

​​

4단계: 단일 기체분자가 벽에 작용한 평균력

위의 내용은 벽이 기체 분자에 작용한 힘의 평균이므로 '기체분자가 벽에 작용한' 평균력은 부호만 반대인 아래와 같다.

 

5단계: N개 기체분자가 벽에 작용한 평균력

하나의 특정한 분자 i를 넘어 N개의 기체가 벽에 작용한 전체 평균력은 각 분자가 벽에 작용한 힘을 모두 더한 것과 같다. 왜냐하면 모든 기체분자가 동일한 특성을 공유하기 때문이다.

​​

또한 기체 분자의 수는 무수히 많기 때문에 시간에 따른 힘의 변화는 거의 무시될 정도가 된다. 그 이유는 어떠한 시간에서도 일정한 수의 분자가 용기에 부딫혀 일정한 힘의 평균을 만들기 때문이다. 따라서 기체분자는 벽에 대해 항상 일정한 힘을 작용하므로 1기체분자의 평균력이 곧 전체 기체분자의 힘이다.

​

​

6단계: 평균물리량과 기체분자의 속도 성분 확장

어떠한 집합에서의 평균 물리량이란, 집합 내의 모든 원소의 물리량을 합한 뒤 그 집합의 원소 수 N만큼을 나눈 값을 의미한다.

​

그리고 지금까지 설명한 모든 물리량은 x축으로만 이동하는 기체분자에 한정되었다. 기체분자는 3차원을 움직일 수 있으므로 개념을 확장하기 위해 [그림 1]처럼 모든 축을 이동할 수 있는 기체분자의 속도 성분을 분석해본다.

• 피타고라스의 정리에 따라 분자 속력의 제곱은 각 속도 성분의 제곱의 합과 같다.

​

분자속력 제곱의 평균 값 또한 위의 식과 비슷하다.

7단계: 기체분자의 무작위적 움직임

이상기체분자의 운동은 완전히 무작위적이므로 x, y, z축의 속도성분은 모두 동일한 것으로 취급된다.

• 기체분자가 완벽하게 한 차원의 속력 성분을 가지면 나머지 속력 성분은 무효가 된다. 따라서 3차원 상에서 3개의 축 중 하나를 고를 수 있을 때, 기체가 한 차원의 속력 성분을 선택할 확률은 전체 확률을 1로 두었을 때 1/3이 된다. 분자가 선택할 수 있는 축의 경우의 수가 3가지로 늘어났으므로 삼차원으로 움직이는 기체 분자에 대해 1/3을 곱하는 것은 매우 합리적이다.

8단계: 용기 벽에 작용하는 기체분자의 전체 힘과 압력

N개의 기체분자가 벽에 작용하는 평균력은 평균물리량의 개념에 따라 다음과 같이 식이 변형될 수 있다.

 

 

용기 벽에 작용하는 기체분자의 전체 힘

 

 

■

​

압력 p는 F/A의 기본 식을 따르고 면 A는 한 변의 길이가 d이므로 d^2로 계산된다.

​

용기 벽에 작용하는 기체분자의 전체 압력

 

■

<물리량>

• V: 용기의 부피