[물리학-고전역학] 중력 퍼텐셜에너지 | Gravitational Potential Energy

 

에너지 복습

Review on Energy

 

• 에너지: 일을 할 수 있는 능력
• 표현

1. 일: A가 B에게 W만큼의 일을 한다. 이때 W>0이면 A의 에너지는 W만큼 감소(W<0)하고, B의 에너지는 W만큼 증가(W>0)한다. 일의 증감 표현은 '...에게'의 목적어가 기준이다.
2. 에너지: A의 에너지는 E만큼을 가진다.

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일은 반드시 상호작용의 두 대상이 존재하는 반면, 에너지는 하나의 대상(상태)만을 표현한다. A가 B에게 W만큼의 일을 한다고 했을 때, 에너지 표현은 다음과 같다.

1. W>0: A의 에너지는 감소하고, B의 에너지는 증가한다.
2. W<0: A의 에너지는 증가하고, B의 에너지는 감소한다.

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이미 다른 힘을 받는 물체에 한 일

중력, 전기력 등은 대표적인 보존력이고 이들은 장을 만들어 냄을 배웠다. 이 장 내에서 지속적으로 물체 질량 또는 전하는 힘을 받고 있는 상태인데, 이때 또 다른 '외력'이 물체를 일정한 속력으로 움직이게 할 때, 물체의 퍼텐셜에너지는 증가한다.

 

그림 1. 물체가 수직방향(지표면) 위로 일정한 속력을 갖기 위해선, 서로 다른 방향의 외력과 중력이 같은 크기로 상쇄되어야 한다.

 

만약 [그림 1]과 같은 상황에서 질량이 m인 물체에 외력(external force) F_app를 작용하여 천천히 들어올린다고 하자. 변위를 r만큼 주었다면, (1)내가 물체에 해준 일은

 

이다.

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한편 (2)중력이 물체에 해준 일은

이다.

• 중력이 물체에 해준 일은 물체의 이동 방향을 (+) 방향으로 잡았을 때, 반대 방향을 가지기 때문에, 스칼라곱의 결과 (-)로 값이 도출된다.
• 일의 두 식을 통해 물체의 퍼텐셜에너지는 (1)물체 외부로부터 작용한 힘에 의해 생성되어 (2)어느 공간 상에 물체에 일을 가능하게는 해주나, (3)물체에 대한 알짜 일의 값은 0이기 때문에 물체가 퍼텐셜에너지를 가졌다고는 할 수 없음을 알 수 있다.

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중력 퍼텐셜에너지

Gravitational Potential Energy

 

그림 2. 고전역학에서 중력 퍼텐셜에너지는 운동에너지로 서로 변환된다.

 

퍼텐셜에너지(potential energy): 물체가 어떤 위치에 존재함으로써 '잠재적'으로 얼마의 일을 할 수 있는 지 알려주는 수치(척도), 단, 퍼텐셜에너지는 물체가 가진 에너지는 아니다.

• 고전역학에서 중력 퍼텐셜에너지는 운동에너지로 서로 변환가능하다. [그림 2]

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중력 퍼텐셜에너지의 유도

질량 m인 물체가 수직방향으로 놓인 y축 위에서 움직인다고 하자. [그림 1]과 같이 물체를 움직인다고 할 때,

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[1] 외력이 물체에 일을 하는 경우, 일 식

 

[2] 중력이 물체에 일을 하는 경우, 일 식

 

[3] 두 식에서 공통적으로 mgy라는 새로운 값을 발견할 수 있고, 물리학자들은 이를 중력 퍼텐셜에너지라고 명명했다.

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중력 퍼텐셜에너지 | Gravitational Potential Energy with constant g

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중력 퍼텐셜에너지의 변화량은 나중 값에서 처음 값을 뺀 값이다.

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중력 퍼텐셜에너지의 변화량

• [과정 1]과 [과정 2]에서 ΔU는 서로 반대 부호를 가지는데, 이는 물체의 운동 방향성과 두 힘의 방향성 차이(중력과 외력이 보이는 정반대의 운동방향) 때문이다.

 

그림 3. 바벨을 들어올렸다가 내릴 때 외력이 한 일의 퍼텐셜에너지

 

 

• [그림 3]과 같이 물체를 운동시켰을 때, 중력 퍼텐셜에너지의 수치는 '외력에 의해 외력과 같은 방향으로 이동한 물체의 최종 중력 퍼텐셜에너지 식 (+)mgy'를 일반적으로 따른다.

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y_1에서 y_2로 물체를 이동시키는 데, 중력이 한 일과 퍼텐셜에너지는 보존력으로서의 중력 F_g 식을 유도하는 데 활용된다.

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중력 퍼텐셜에너지의 일표현

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만유인력 퍼텐셜에너지 구하기

중력 퍼텐셜에너지 mgy는 중력의 크기와 방향이 일정함을 가정했다. 그러나 지구 밖에서는 지표면 상의 중력 가속도 값이 변하기 때문에 더 일반적인 퍼텐셜에너지 식이 필요하다.

 

그림 4. 두 입자시스템의 만유인력 법칙

 

 

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[1] 만유인력의 법칙은 r의 변화가 큰 중력(무게)을 구하는 식으로 적합하다.

- m_E: 지구의 질량

- m: 지구 외부에 있는 물체의 질량

- r: 지구 중심으로부터 물체까지의 거리

 

그림 5. law of gravitation이 적용된 거리-퍼텐셜에너지 그래프

 

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[2] 만유인력에 의한 퍼텐셜에너지란, 질량 m을 가진 물체가 중력이 작용하는 공간 내에서 힘을 받아 거리 r에서 무한대 거리까지 이동하면서 저장된 에너지이다.

• r에서 무한대의 거리까지 물체를 이동시키는 중력의 일을 구할 수 있다.

[3] 중력 에너지퍼텐셜의 일표현을 통해 새로운 퍼텐셜에너지의 표현을 구할 수 있다.

만유인력 퍼텐셜에너지 | General Gravitational Potential Energy

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