[물리학-고전역학] 중력장에서의 가우스 법칙 | Gauss's Law for Gravity

 

 

[고전역학_중력장과 중력선속]에서 (1)만유인력의 법칙으로 부터 유도한 중력장 식과 (1)중력선속 식을 차례로 배웠다.

​

중력장 벡터

 

■

• 물리량

1. m_source: 원천 질량
2. 단위벡터 r: 원천 질량에서 시험 질량으로 향하는 단위벡터
3. r: 원천 질량과 시험 질량 사이에 떨어진 거리
4. (-)부호: 중력장에 의한 상호작용인 '중력'은 항상 인력이다. cf. 전기장에서는 원천 전하와 시험 전하의 각 부호성에 따라 인력 또는 반발력이 결정된다.

​

즉, 중력장 벡터의 음수 부호 자체가 어떤 시험 질량이 와도 '인력'의 힘 형태를 가질 것임을 반영한다.

​

중력선속

■

• 중력선속의 크기는 중력장 g와 면벡터 A(또는 면과 수직한 단위벡터 n) 사이의 각도 θ에 의해 최댓값과 최솟값이 결정되는데, 기존의 중력선속 식의 cos 값을 포함하여 두 벡터의 스칼라곱으로도 중력선속 식을 표현할 수 있다.

 

닫힌곡면에서의 중력선속

Flux of Gravitational Field inside the Gauss's Surface

 

가우스 법칙을 이용하여 새로운 중력선속의 공식을 유도해보자. ⇒ [전자기학_가우스 법칙] 참고

https://blog.naver.com/sortie0228/223217832982

[물리학-전자기학] 07. 가우스 법칙 | Gauss's Law

 

 

그림 1. 가우스 곡면 [출처: University Physics Volume 2, OpenStax, 2016, p.248]

 

 

​

닫힌곡면(가우스 면, 가우스 곡면, closed surface, Gauss's surface): 내부공간과 외부공간을 완벽히 분리하고, 이 면을 지나지 않고서는 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 없는 표면[그림 1]

• 닫힌 곡면 내에 중력장을 만드는 질량이 있고, 중력장선들의 묶음인 중력선속은 질량으로 수렴하는 방향으로 모인다.

​

닫힌곡면의 중력선속

■

중력선속의 식에서 벡터 A는 닫힌 곡면의 기하학적 형태를 표현할 수 없으므로 닫힌곡면의 적분 ∮를 활용하여, 위와 같이 식을 쓸 수 있다.

• 물리량

1. ∮: 적분하려는 면이 닫혀있음(닫힌곡면)을 의미
2. 벡터 g: 중력장
3. d(벡터 A): 미소면적(가우스 면)

• 의미: 중력장의 크기를 계산할 시, 표면에 수직한 중력장 성분만을 고려한다.

 

그림 2. 가우스 곡면, 중력장선, 중력선속

 

​

[그림 2]와 같이 가우스 면을 지나는 알짜 중력 선속과 닫힌곡면 내의 원천질량 사이의 관계를 알아보자.

​

가우스 곡면이 구(sphere)를 이루는 경우, 전기장의 크기는 구면에 대해 어디든지 같다. 그리고 구면 내의 양전하는 방사형태로 전기력선을 '발산'하기 때문에,

​

가우스 면의 중력장 크기

이다.

​

• 물리량

1. r: 원천 질량과 가우스면 사이의 거리
2. m: 가우스면에 갇힌 질량

​

[그림 2]와 같은 조건에서 구면상의 모든 점에서의 중력장과 법선벡터는 서로 평행하다.

 

​​

설정한 구면의 표면적은 4πr^2이므로, 닫힌곡면의 전기선속 식을 다음과 같이 계산 수 있다.

​

​

중력장 g에 실질적인 중력장을 생성하는 원천 질량 m의 항이 들어간 G(m/r^2)를 대입한다.

​

닫힌곡면의 중력선속

 

■

• 물리량

1. m_encl: 가우스 표면 내부에 들어있는 원천 질량
2. G: 만유인력 상수

• 의미: 닫힌곡면의 중력선속에 대한 또 다른 식으로 서로 호환이 가능하다.

​

중력장에서의 가우스의 법칙 | Guass's Law for Gravity

■

• 물리량

1. 벡터 A_G: 닫힌곡면인 가우스 곡면의 표면적[그림 3]
2. m_encl: 가우스 표면 내부에 들어있는 원천 질량

 

그림 3. 가우스 곡면의 표면  [출처: University Physics Volume 2, OpenStax, 2016, p.271]