회전 운동
Rotational Motion
회전: 한 점으로 대표되는 축을 중심으로 하여 어떤 물체가 빙빙 도는 것
- 축은 회전에서 중심 O(원점, origin)로 표현되며, 물체는 일반적으로 강체를 들 수 있다. 그러나 [그림 1]과 같이 공기 분자 집합(air mass)이 만드는 허리케인 또한 회전 운동으로 간주된다.
- 강체(rigid body): 힘이 가해졌을 때 변형되지 않는 물체, 강체를 이루는 입자들 간의 상대 위치는 항상 일정하다.
회전축을 주위로 하는 회전운동은 종종 아래와 같이 분류된다.
- 강체 고정축 회전운동: 평면 상에서 고정축을 중심으로 한 강체의 회전 운동[그림 2] e.g. 팽이
- 강체 굴림운동(rolling motion): 평면 상에서 고정축 없이 병진 운동과 회전 운동이 함께 나타나는 운동
각도, 각속도, 그리고 각가속도
Angle, Angular Velocity, and Angular Acceleration
각도설정
회전하는 운동을 설명할 때는 극좌표(polar coordinate)를 사용한다. ⇒ 회전하는 '물체의 조각입자'의 위치[그림 3]는 (r, θ)로 표기한다.
- r: 회전축인 원점으로부터 떨어진 거리
- θ: 물체가 회전할 때 돌아간 정도로 기준선에서 반시계 방향으로 측정한다.
- 반시계 방향이 (+) 부호를 갖는다.
- 시계 방향은 (-) 부호를 갖는다.
그리고 회전 운동을 통해 그려진 호의 길이를 s라 하고, 각도의 n도(degrees) 대신 라디안(radian)으로 정의하여, 1 라디안을 다음과 같이 정의[그림 4]한다.
원호와 각도
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- 각도는 단위가 없는 수(pure number)이나, 회전 운동에서는 의미있는 단위인 [rad]를 붙여준다.
1 라디안
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1 [rad]는 호의 길이와 호의 반지름이 정확하게 일치할 때의 각도를 의미한다.
- 라디안은 실수(real number) 표현 혹은 (pi)와 같은 특정 상수와 함께 쓴다. cf. n도(degree) 기호와 함께 쓰지 않는다.
- π란, 원둘레(circumference) C / 지름(diameter) d의 값이다.
각위치, 각변위, 각속도, 각가속도
각위치(angular position): 회전하는 전체강체가 가지는 각도
각변위(angular displacement)[그림 5]
각변위는 xy-평면을 두고 x-축을 기준으로 물체가 회전하는 각 θ를 이용한다.
- 양의 x-축으로부터 반시계 방향으로 측정한 각을 양수로 선택한다.
- 양의 x-축으로부터 시계 방향으로 측정한 각은 음수로 취급한다.
[그림 5]는 x-축으로부터 반시계 방향으로 돌았으므로 각변위는 양수 값을 갖는다.
각속도(angular velocity): 강체의 각변위를 그 변위가 일어난 시간 간격 Δt로 나눈 비율, 강체의 회전운동은 시간에 대한 θ의 변화율로 기술할 수 있다.
평균 각속도 | Average Angular Velocity
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순간 각속도 | Instantaneous Angular Velocity [그림 6]
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순간 각속도는 시간간격이 0으로 접근할 때, 평균 각속도의 극한 값이다.
- 각속도는 일반적으로 순간 각속도를 의미한다.
- 각속도의 단위: [rad/s]
- 부호: 강체가 반시계 방향으로 돌 때 각변위는 양수이고, 따라서 각속도도 양의 부호를 가진다.
- 각속력: 각속도의 크기, 음수가 될 수 없다.
주어진 시간 동안 회전하는 강체의 여러 점들은 그 점의 회전축으로부터 떨어진 거리에 따라 각각 다른 거리를 움직인다. 그러나 어느 순간에서나 회전하는 강체의 모든 부분은 같은 각속도를 가진다.
벡터량으로서 각속도와 각가속도의 방향은 '순간(instantaneous)'의 조건에서만 유의미하다.
- 유한한 회전의 경우 각 변위를 벡터합으로 연산 할 수 없다.
- 벡터 각속도의 방향은 벡터곱을 정의할 때 사용한 오른손 법칙(오른손 규칙, right-hand rule)[그림 7]으로 주어진다. ⇒ 회전시켰을 때 엄지가 지면을 뚫고 나오면 각속도는 (+)방향성을 가졌다고 본다.
강체가 각가속도를 가질 때 강체의 각속도가 변한다.
평균 각가속도 | Average Angular Acceleration
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- 의미: 각속도의 변화에 시간 간격을 나눈 값
순간 각가속도 | Instantaneous Angular Acceleration
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- 의미: 시간간격이 0에 접근할 때 평균 각가속도의 극한
- 각가속도는 일반적으로 순간 각가속도를 의미한다.
- 단위: [rad/s^2]
- 양의 부호를 가지는 조건
- 반시계 방향으로 회전하는 강체가 빨라지는 경우
- 시계방향으로 회전하는 강체가 느려지는 경우
벡터 각가속도의 특징[그림 8]
- 각가속도와 각속도의 방향이 서로 같다. ⇒ 강체의 회전이 빨라진다.
- 각가속도와 각속도의 방향이 서로 다르다. ⇒ 강체의 회전이 느려진다.
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