[물리학-고전역학] 42. 회전 운동식과 병진 운동식 | The Relationship between Rotational Motion and Transitional Motion
[고전역학_22. 물체의 운동]에서 배운 것과 같이 속도의 변화량이 일정한 운동을 등가속도 운동이라 하듯, 어떤 물체가 회전 운동 시, 각속도의 변화량이 일정하면, 그 운동을 등각가속도 운동이라 한다.
등각가속도 운동(motion under constant angular acceleration): 고정축을 중심으로 강체가 회전을 할 때, 각가속도가 일정한 경우
먼저, x축에서 등가속도 운동(운동학 식)은 다음과 같다.
다음 서로 대응이 가능한 물리량으로 치환해 회전 운동식(rotational kinematic equations)을 아래와 같이 세울 수 있다.
회전 운동식 | Rotational Kinematic Equations
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회전 운동식은 각가속도 α가 일정할 때만 사용할 수 있는 식이다.
등가속도 운동에서의 v-t 그래프를 분석할 때, (1)기울기와 (2)면적이 각각 가속도와 변위를 나타낸 것처럼 등각가속도 운동에서의 ω-t그래프를 [그림 1]과 같이 정리할 수 있다.
벡터량으로서 각속도와 각가속도의 일치성에 따라 강체의 회전이 빨라지거나 느려짐을 배웠다.
각속도의 방향은 회전이 시계방향이면 z축을 기준으로 (+)로, 반시계방향이면 z축을 기준으로 (-)라 정의[그림 3]했다.
[그림 4]와 같이 주황색의 강체가 회전할 때 한 점 P에서의 병진 가속도 및 구심 가속도 사이의 관계를 알아보자.
강체가 원점을 중심으로 반시계 방향으로 만큼 회전한다고 생각했을 때, 반지름 r만큼 떨어진 점 P에는 접선속도(tangential velocity)가 있다. 접선속도는 벡터량으로 접선속도의 크기인 접선속력은 다음과 같이 정의한다.
접선속력에 호의 길이 공식을 대입하면 아래와 같이 접선속력을 새롭게 정의할 수 있다.
접선속력 | Linear Speed
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예를 들어 막대기를 휘두를 때 막대의 끝 접선속력이 막대의 손잡이 접선속력보다 훨씬 빠르다. ⇒ ω의 값은 모두 같으나, r은 막대로부터 멀어질수록 그 값이 커진다.
회전강체에서의 한 점의 병진가속도의 접선 성분은 회전축으로부터 그 점까지의 수직거리에 각가속도를 곱한 값과 같다.
접선가속도
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한편 강체의 회전 역시 회전축을 중심으로 한 원운동의 일종으로 구심가속도 a_c가 발생한다.
우선 원운동에서 구심가속도는 다음과 같이 정의했다.
이 구심가속도 식에 접선속력을 대입하면 각속력으로 표현한 구심가속도를 새롭게 정의할 수 있다.
구심가속도
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원형 경로를 따라 회전하는 한 점은 지름 가속도 벡터 a_r을 갖는다. 여기서 지름 가속도 벡터의 크기 a_r은 v^2/r이고 회전중심을 향한다. 이때 구심가속도 a_c는 지름 가속도의 크기와 같다.
구심가속도와 접선가속도가 시작되는 지점에서의 실제 가속도는 두 가속도의 벡터합[그림 5]과 같다.
강체의 실제가속도
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실제 가속도의 크기는 마찬가지로 벡터의 성분 합을 해주면 쉽게 계산된다.
실제가속도 크기
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