【물리학 - 고전역학】 25. 퍼텐셜에너지

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퍼텐셜에너지(potential energy): 위치에너지, 물체 또는 시스템에 저장되는 에너지로 보존력에 대한 그 물체의 상대적 위치에 의해 결정된다.

• 보존력(conservative force): 어떤 물체를 한 점에서 다른 지점으로 옮기는 데 드는 총 일이 물체의 이동경로와 무관한 힘, 역학적 에너지가 보존됨
• 입자가 갖는 퍼텐셜에너지란, 힘 F에 의해 지점 1에서 지점 2로 움직이는 데 필요한 일의 양과 같다.

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예를 들어 중력으로 상호작용하는 책과 지구 시스템[그림 1]을 떠올려 보자.

 

그림 1. 책-지구 시스템: 책은 퍼텐셜에너지를 저장한다.

 

 

• 책과 지구 시스템은 고립계이다.
• 책을 지표면으로부터 서서히 들어올릴 때, 책의 에너지는 증가한다. 단 여기서 계의 에너지 변화란, 운동에너지의 변화가 아니다.
• 책을 놓기 전, 저장된 에너지의 형태를 퍼텐셜에너지(위치에너지)라 한다.
• 퍼텐셜에너지의 크기는 계의 구성요소가 가진 배열 상태(arrangement)에 기인한다. 계의 구성요소들이 가질 수 있는 배열의 변화로 위치 이동, 회전 등이 있다.

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그림 2. 퍼텐셜에너지와 운동에너지의 전환 [출처: University Physics Vol 1 (Openstax), p. 360]

 

 

 

[그림 2]와 같이 공기저항과 마찰을 무시한 채 공을 위로 찾다고 생각해보자.

• 공이 위로 올라갈 때 중력이 공에 하는 일은 음수이다. ⇒ 공의 변위는 (+)방향이나 중력은 (-)방향이다.
• 공이 위로 올라갈 때 운동에너지는 감소하면서 동시에 퍼텐셜에너지가 증가한다.

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가장 높은 지점에서 퍼텐셜에너지는 최대이면서 운동에너지는 0에 매우 가까워질 것이다.

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공이 다시 아래로 떨어질 때는 다음과 같다.

• 공이 아래로 떨어질 때 중력이 공에 하는 일은 양수이다. ⇒ 공의 변위와 중력은 모두 (-)방향이다.
• 공이 아래로 떨어질 때 운동에너지는 증가하면서 동시에 퍼텐셜에너지는 감소한다. ⇒ 퍼텐셜에너지의 운동에너지 전환

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퍼텐셜에너지를 이해하는 데 있어 기준위치를 정하는 것이 매우 중요한데, 대표적인 기준 선택은 다음과 같다.

1. 물체가 지표면이나 가장 낮은 지점에 있을 때 U=0이라 둔다.
2. 행성-인공위성 관계와 같은 천체 문제에 무한히 먼 지점의 U=0이라 둔다.

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퍼텐셜에너지는 U로 표현하며, 이것의 변화량을 다음과 같이 쓸 수 있다.

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퍼텐셜에너지의 변화량

$\Delta U_{AB}=U_B-U_A=-W_{AB}$ΔUAB​=UB​−UA​=−WAB​​

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중력 퍼텐셜에너지

Gravitational Potential Energy

 

질량이 m인 물체에 외력 F를 작용하여 지표면 y_i에서부터 y_f까지 들어올렸을 때, 외력이 한 일은 아래와 같다.

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위로 들어올리는 외력 F와 변위 Δr의 방향이 서로 같고, mgy라는 독특한 퍼텐셜에너지 값이 유도된다.

• 외력 F는 양의 일 W를 한다.
• 중력은 음의 일 -W을 한다. ⇒ F와 Δr의 방향이 서로 정반대이다.

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중력 퍼텐셜에너지

$U\normal{1}{_{grav}}=mgy$Ugrav​=mgy​

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<물리량>

• m: 물체의 질량
• g: 중력 상수
• y: 높이

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물체가 위로 올라가면 (1)높이 y의 값은 증가하고, (2)ΔU=mgy 식을 따르기 때문에 퍼텐셜에너지 변화량은 증가(ΔU>0)할 것이다. 단, (3)중력이 하는 일은 음수이다.

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반대로 물체가 아래로 내려가면 (1)높이 y의 값은 감소하고, (2)ΔU<0일 것이다. 단, (3)중력이 하는 일은 양수이다.

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위의 사례를 통해 보존력이 한 일 W는 다음과 같이 쓸 수 있다.

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보존력이 한 일

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<물리량>

• ΔU: 힘에 의한 위치에너지의 변화량
• (-): 역장과 반대방향으로 행해진 일이 퍼텐셜에너지를 증가시킴