【물리학 - 고전역학】 27. 각속도와 각가속도

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강체의 회전 분석에 있어서 각속도와 각가속도는 매우 핵심적인 개념들이다.

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각속도와 접선속도

Angular Velocity and Tangential Velocity

 

 

이전 챕터 【고전역학 - 26. 강체와 회전】 에서 각속도를 다음과 같이 정의, 요약했다.

https://blog.naver.com/moduphysics/224004947078

 

【물리학 - 고전역학】 26. 강체와 회전

 

각속도

• 각속도: 강체의 각변위를 그 변위가 일어난 시간 간격으로 나눈 비율

• 각속도는 일반적으로 순간 각속도를 지칭한다.
• 강체가 반시계 방향으로 돌 때, 변위는 양수 값을 갖고, 따라서 각속도 또한 양의 부호를 갖는다.

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그림 1. 각과 각변위의 벡터 방향성 [출처: University Physics Vol 1 (Openstax), p.477]

 

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어떤 강체가 특정한 (1)각을 가지고 회전할 때 매우 짧은 시간 동안 (2)각변위와 (3)호는 벡터 물리량[그림 1]으로 다음 식을 만족한다.

 

<물리량>

• s: 호
• θ: 각, 물체가 회전할 때 돌아간 정도
• r: 회전축인 원점으로부터 떨어진 거리

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<의미>

호는 각도 벡터와 위치 벡터의 외적(벡터곱, cross product)이다.

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접선속도

 

그림 2. 접선속도 [출처: University Physics Vol 1 (Openstax), p.480]

 

어떤 강체가 매우 짧은 시간 각을 가지고 회전하는 순간, 그 강체의 어떤 요소는 접선속도(tangential velocity) v_t​​[그림 2]를 갖는다.

• 각속도는 각변위를 시간 간격으로 나눈 값이라면 접선속도는 호를 시간 간격으로 나눈 값이다.

 

 

여기서 s는 위에서 언급한 호 벡터로 cross vector를 대입하면 아래와 같이 계산할 수 있다.

 

 

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접선속도 v_t는 cross vector의 미분 결과로 다음과 같은 값을 갖는다.

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접선속도

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<물리량>

• v_t: 접선속도(벡터)
• ω: 각속도 벡터
• r: 회전축인 원점으로부터 떨어진 거리 벡터

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또한 원호 s를 rθ로 두었을 때 접선속도의 크기인 접선속력(tangential speed)을 구할 수 있다.

 

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접선속력

 

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<물리량>

• v_t: 접선속력
• ω: 각속도
• r: 회전축인 원점으로부터 떨어진 거리

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그림 3. 접선속력 v_t  [출처: University Physics Vol 1 (Openstax), p.478]

 

 

[그림 3]과 같은 원판 강체에 요소 1과 2를 설정하였을 때, 각속도 ω는 지점에 상관없이 모두 일정(constant)하다. 그러나 반지름이 큰 지점(1<2)의 요소가 접선속력 수식에 따라 더 큰 접선속력을 가짐을 알 수 있다.

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각가속도

Angular Acceleration

 

어떤 물체의 직선 운동에서 가속도를 가지면 그 물체의 속도가 변한다. 마찬가지로 강체의 각속도는 각가속도를 가질 때 변한다.

• 각가속도 또한 (1)평균 각가속도(average angular acceleration)와 (2)순간 각가속도(instantaneous angular acceleration)로 나뉜다.

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평균 각가속도

 

 

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<물리량>

• α: 각가속도
• ω: 각속도
• Δt: 시간 간격

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<의미>

각속도의 변화에 시간간격을 나눈 값

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<단위>

[rad/s^2]

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평균 각가속도의 시간간격이 0으로 접근할 때, 평균 각가속도의 극한 값을 순간 각가속도로 정의한다.

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순간 각가속도

 

 

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각속도와 마찬가지로 각가속도 또한 일반적으로 순간 각가속도를 의미한다.

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각가속도가 양의 부호를 갖는 조건은 다음과 같다.

1. 반시계 방향으로 회전하는 강체가 빨라지는 경우
2. 시계방향으로 회전하는 강체가 느려지는 경우

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각가속도와 각속도의 방향이 서로 같을 때, 강체의 회전은 빨라진다. 반면 각가속도와 각속도의 방향이 서로 다를 때는 강체의 회전이 느려진다[그림 4].

 

그림 4. 강체의 회전 속도 결정 [출처: University Physics for the Life Sciences (Knight, Jones, and Field), p.211]

 

 

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접선가속도

접선속도 v_t 식에 시간에 대한 미분을 하면 접선가속도 a_t를 구할 수 있다.

 

 

위 식의 cross vector 미분을 하면 접선가속도 식에서 각가속도의 벡터 식을 유도할 수 있다.

 

 

그림 5. 접선 가속도 a_t  [출처: University Physics Vol 1 (Openstax), p.482]

 

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접선속력 v_t를 미분하면 접선가속도 a_t를 구할 수 있다.

 

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접선 가속도

 

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