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【물리학 - 고전역학】 26. 강체와 회전 본문
강체
剛體, Rigid Body
강체: 형태가 고정되어 변형이 없는 물체, 외력이 가해져도 모양이나 크기가 변하지 않는다.
- 입자들 간의 상대적 위치가 모두 고정이 되어 있다.
- 강체상 주어진 두 점 사이의 거리는 외부 힘이나 모멘트가 가해지더라도 시간에 대해 항상 일정하게 유지된다.
강체의 운동
강체 운동(rigid body motion): 강체 내의 모든 점들 사이의 거리가 그대로 유지된 채 강체 전체가 이동하는 것
- 병진운동과 회전운동이 합쳐진 복합적인 운동을 한다.
- 운동의 차원에 따라 크게 (1)평면 강체운동과 (2)3차원 강체운동으로 나뉜다.
- 평면 강체운동(rigid body plane motion): 강체 병진운동, 강체 고정축 회전운동, 강체 복합운동(병진운동 + 회전운동)[그림 1] 등 2차원 평면에서 분석이 가능한 강체 운동
- 3차원 강체운동(rigid body 3-dimensional motion): 자이로스코프 세차 운동* 등 강체 회전축에 따라 위치, 방향이 고정적이지 않은 운동으로 3차원 공간에 대한 벡터 해석으로 분석이 가능하다.
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세차 운동(processional motion)[그림 2]
옆돌기 운동, 회전하는 천체나 물체의 회전 축이 도는 형태의 운동 또는 현상
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강체의 운동을 기술하기 위해서는 (1)질량중심과 (2)관성 모멘트의 개념을 알아야 한다.
- 질량중심: 강체 내 질점 간의 위치가 불변하며 특수한 고정점을 중심으로 병진운동, 회전운동을 하는 데 이때 고정점을 질량중심으로 가정한다.
- 관성 모멘트: 회전운동에 대한 저항을 나타내는 물체의 고유한 성질
회전: 각도, 각변위, 그리고 각속도
Rotation: Angle, Angular Displacement, and Angular Velocity
회전(回轉, rotation): 임의의 축을 기준으로 어떤 물체 또는 시스템이 도는 것
- 회전 시, 고정축을 중심으로 물체의 각 점은 일정한 거리를 유지한 채 특정한 각도로 계속 돈다[그림 3].
- 축은 회전에서 중심 O로 표현되며, 회전 물체는 대개는 강체이다.
강체의 회전하는 운동은 아래와 같이 분류된다.
- 강체 고정축 회전운동: 평면 상의 고정축을 중심으로 한 강체 회전운동 e.g. 팽이
- 강체 굴림운동(rolling motion): 평면 상에서 고정축이 없이 병진운동과 회전운동이 함께 나타나는 운동
각도, 각변위, 그리고 각속도
회전하는 물체의 운동을 설명할 때는 극좌표(polar coordinate)를 사용한다.
회전하는 물체의 '조각입자' 위치는 (r, θ)로 표기한다.
- r: 회전축인 원점으로부터 떨어진 거리
- θ: 물체가 회전할 때 돌아간 정도로 기준선에서 반시계 방향을 (+)방향으로 측정한다.
호(arc): 이차원 평면 위의 미분가능한 곡선에서 닫힌 부분으로 원에서는 원둘레의 일부를 지칭한다.
- 부채꼴의 경우 전체 곡선이 호가 된다.
- 원호: 원 위에 두 점이 있을 때, 이 두 점은 원둘레를 두 개의 원호로 나눈다. 짧은 호를 열호라 하고 긴 호를 우호라 한다. ⇒ 대부분의 경우는 열호의 수치 값에 관심이 있다.
원호 s[그림 4]와 각도 사이에는 다음 관계식을 만족한다.
- 각도는 단위가 없는 수이나, 인위적인 단위 라디안(radian)을 붙여준다.
- 1 rad = 180도/π 로 약 57.2958도이다.
- 1도 = 0.0175 rad
1 라디안은 호의 길이와 호의 반지름 길이가 정확하게 일치할 때의 각도를 의미[그림 5]한다.
- 상수 π는 원둘레/지름의 값이다.
- 라디안은 실수 표현 또는 π와 같은 특정 상수와 함께 쓰인다.
각위치와 각변위
각위치(angular positon): 회전하는 강체의 특정 부위가 가지는 각도
각변위(angular displacement): xy-평면을 두고 x-축을 기준으로 물체가 회전하는 각 θ를 활용한다.
각변위
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각변위를 잴 때, 양의 x-축으로부터 반시계 방향으로 측정한 값을 양수로 선택[그림 6]한다.
각속도
각속도(angular velocity): 강체의 각변위를 그 변위가 일어난 시간 간격 Δt로 나눈 비율
- 강체의 회전운동이란, 시간에 대한 θ의 변화율로 기술할 수 있다.
- 속도에서 평균속도와 순간속도처럼, 각속도 또한 평균 각속도와 순간 각속도로 나뉜다.
평균 각속도
■
<물리량>
- Δθ: 각변위
- Δt: 변위에 걸린 시간
<의미>
평균 각속도(average angular velocity)란, 각변위와 걸린 시간의 비이다.
<단위>
[rad/s]
순간 각속도
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<의미>
순간 각속도(instantaneous angular velocity)란, 시간 간격이 0으로 접근할 때, 평균 각속도의 극한 값이다.
- 각속도는 일반적으로 순간 각속도를 의미한다.
- 부호: 강체가 반시계 방향으로 돌 때, 변위는 양수 값을 갖고, 따라서 각속도 또한 양의 부호를 갖는다. ⇒ (+)부호의 반시계 방향은 자신의 오른손의 자연스럽게 감는 방향[그림 7]과 일치한다.
- 순간 각속도의 단위는 평균 각속도의 단위([rad/s])와 같다.
주어진 시간 동안 회전하는 강체의 여러 점들은 그 점의 회전축으로부터 떨어진 거리에 따라 각각 다른 거리를 움직인다. 그러나 어느 순간에서나 회전하는 강체의 모든 부분은 같은 각속도를 갖는다.
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