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보어의 원자모형 | Bohr's Atom Model 본문
일전자 시스템
Single Electron System
일전자계(single electron system): 일전자 시스템, [그림 1]과 같이 핵(붉은 색)이 한 개이고 그 주위에 전자 역시 한 개인 화학종
- 수소원자는 단전자 원자 중 가장 간단한 형태이다.
- 헬륨 이온(He+)과 리튬 이온(Li++) 또한 일전자 시스템을 따른다. ⇒ 단, 수소와 핵전하가 다르므로 전자와 핵 사이에 작용하는 인력의 크기 또한 다르다.
일전자계를 연구하던 당시, 양자역학에서의 양자(quantum)는 물리학적 상호작용에서 계산되는 모든 양의 최소 단위로 받아들여졌으며, 덴마크의 물리학자 닐스 보어(Niels Henrik D. Bohr, 1885-1962)는 일전자계로 대표되는 수소원자에서의 에너지 준위를 구했다.
- 양자화 가설: 물리학에서 다루는 모든 상호작용의 값은 '양자화된 최소에너지의 n배를 만족'한다.
- Bohr의 이론은 행성원자모형으로부터 출발한다. ⇒ Bohr 모델: 질량 m_e인 전자가 고정된 핵 주위를 반지름 r인 궤도를 따라 돈다.
보어 모델: 보어의 원자 모형
Bohr Model: Bohr's Atom Model
고전 물리학에서 '가속'된 전자는 전자기파를 방출함으로써 에너지를 잃게 된다[그림 2]. 따라서 기존의 원자 모형에서 전자는 반드시 빠른 시간 내에 핵으로 나선형 궤도로 떨어져야만 한다. 보어는 이런 모순을 피하기 위해 (1)전자는 불연속적 궤도 안에서만 거동가능하며, (2)서로 다른 궤도로 전이할 때 전자는 빛을 흡수하거나 방출한다고 가정했다.
- 보어 반지름: r_n
- 에너지 준위 E_n
또한 전자의 안정한 궤도 운동을 설명하기 위해, 전자의 각운동(량)이 또한 양자화되어 있다고 주장했다. 전자의 선운동량(linear momentum) p는 고전역학에서의 값과 같이 mv 식을 따른다. 마찬가지로 각운동량(angular momentum) L은[그림 3] (강체의 운동에서) 어떤 축을 중심으로 회전운동을 기술하는 양으로, 전자의 각운동량을 전자 질량과 속력(v_n), 그리고 궤도의 반지름(r_n)의 곱으로 정의했다.
전자의 각운동량
■
<물리량>
- m_e: 전자의 질량
- v_n: 전자의 속력(electron speed)
- r_n: 전자 오비탈 반경(electron orbital radius)
- n: 주양자수(principal quantum number for the orbit)
Bohr는 불연속적인 궤도와 양자화된 에너지를 각운동량 양자화의 직접적인 결과로 해석했다.
Bohr는 원자핵을 기준으로 전자가 거동할 수 있는 에너지 궤도(수)가 상당히 많다고 가정했다. 그 궤도들을 원자핵에 가까운 순서대로 K, L, M, N 순으로 표현[그림 4]했다.
보어 모델에서 전자의 운동 해석
Bohr 모델에서 전자는 등속원운동을 하는 입자[그림 5]로 F=mv^2/r식에 대입이 가능하고 각 항에 대해 다음 수식을 세울 수 있다.
<물리량>
- v: 전자의 속력
- k_e: 쿨롱 상수
- e: 전하
- m_e: 전자 질량
- r: 원자핵-전자 간 궤도 반지름
위의 식에서 구한 v^2을 활용해 전자의 운동에너지를 구할 수 있다.
보어 모델에서 원자 전체 에너지
Bohr 모델에서 수소원자의 전체 에너지는 다음과 같다.
위의 식에 전자의 운동에너지 K 값을 대입하면 원자 전체에너지 식을 아래와 같이 정리할 수 있다.
수소원자의 전체에너지
■
수소원자 전체에너지의 음수 부호는 속박되어 있는 전자-양성자 계를 뜻하며, 전자를 양성자로부터 떼어내기 위해서는 위의 에너지 값만큼을 투입해야 한다.
불연속적 궤도의 특성: 보어 반지름
수소원자의 전체 에너지 식에는 두 개의 미지 변수 v와 r이 있다. 이 중 r에 대해서 전자의 각운동량 식을 적절히 변형하면 특정한 궤도(n=1)에서의 반지름을 구할 수 있다.
위의 식에서 r_n은 허용된 궤도의 반지름이 갖는 불연속적인 값, 즉 양자화되었음을 보인다.
특히 n=1일 때, 궤도는 가장 작은 반지름을 갖는데 이때 반지름을 보어 반지름(Bohr radius) a_0라 한다.
보어 반지름
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