[대학화학 - 통계열화학] 분자간의 상호작용 - 퍼텐셜에너지의 이해 (2)

앞선 챕터(분자간의 상호작용 - 퍼텐셜에너지의 이해 (1))의 분자 간 결합에서 우리는 퍼텐셜에너지의 빠른 이해를 위해 분자의 실질적인 운동에너지를 고려하지 않았다. 하지만, 앞으로 분자간의 상호작용에서 사용하게 될 실질적인 퍼텐셜에너지 공식은 (1)전자기력은 경로에 의존하지 않는(경로비의존성) 보존력이며, (2)따라서 이 보존력은 '역학적 에너지 보존법칙'을 만족한다는 사실로부터 새롭게 유도하도록 한다.

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보존력

보존력의 특징 중 대표적인 것은 어떤 물체가 보존력에 의해 지점 A에서 운동을 시작하여 지점 B에 운동을 완료했다면, 어떤 경로를 거쳤던 간에 보존력이 한 일은 항상 같다는 사실이다. [그림 1]

 

그림 1. 보존력의 일은 두 지점만 설정된다면 어떠한 경로를 지나더라도 그 값은 항상 일정하다.

 

1. 보존력이 한 일은 가역적이다.
2. 보존력이 한 일은 경로에 무관하다. 즉, 출발점과 도착점에만 그 값이 의존한다.
3. 만약 출발점과 도착점이 동일하다면 전체 보존력의 한 일은 0이다. 닫힌 경로(closed path)에서 보존력이 한 일은 0이다.
4. 보존력의 일은 퍼텐셜에너지 함수의 처음 값과 나중 값의 차이로 표현된다.

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보존력의 여러가지 특징 중 4번의 내용을 구하기 위해 '역학적 에너지 보존의 법칙'을 알아보자.

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역학적 에너지 보존의 법칙

어떤 물체의 역학적 에너지는 마찰력이나 공기저항과 같은 비보존력이 없는 한, 내부에너지의 변화가 없고 따라서 '역학적 에너지'는 항상 보존된다. 여기서 역학적 에너지는 물체의 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 총합을 의미한다.

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일과 운동에너지의 관계식

역학적 에너지의 총합

 

• 어떤 물체의 역학적 에너지는 그 물체의 운동에너지에 퍼텐셜에너지를 더한 값이고, 이는 경로와 상관없이 항상 일정한 값[그림 2]을 갖는다.

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그림 2. 역학적 에너지의 합(E)은 항상 일정하다.

 

일과 운동에너지의 관계식과 역학적 에너지의 합을 잘 조합하면, '보존력이 한 일'과 '보존력에 의한 퍼텐셜에너지'의 관계식을 세울 수 있다.

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[1] 역학적 에너지의 합 공식 재조합

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[2] 보존력이 한 일 = -Δ(보존력에 의한 퍼텐셜에너지) = 처음 퍼텐셜에너지 - 나중 퍼텐셜에너지

 

• 상호작용하는 두 분자를 무한소 거리만큼 이동시킬 때, 거리는 dr로 표현할 수 있고, 이때 한 일은 아래와 같이 표현된다. ⇒ 분자의 이동은 그 자체로 매우 작은 거리이기 때문에 실측 계산 기준으로 이는 무한소로 간주해도 무난하다.

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보존력

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• 보존력 식에서 나타나는 음수부호는 항상 계가 가장 낮은 위치에너지를 갖도록 작용하는 보존력의 특성을 나타낸다.
• 퍼텐셜에너지는 물체의 위치에 따라 정해지는 함수이므로 U(r)로 표현된다. 마찬가지로 보존력 또한 물체의 위치에 의해서 그 힘의 크기가 달라지기 때문에, F(r)로 표현한다.
• 화학에서 원자, 분자의 퍼텐셜에너지는 U 대신 V로도 자주 쓴다. 따라서 앞으로는 U보다 V를 더욱 활용하도록 한다.

그림 3. 거리에 따른 입자 사이의 알짜힘의 변화(a)와 퍼텐셜에너지의 변화(b) [출처: Material Science and Engineering, 9ed.]

 

보존력 식을 통해 먼저 나중 퍼텐셜에너지 값을 구할 수 있는 식을 유도해보자.

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분자 간 인력 퍼텐셜에너지 또는 반발력 퍼텐셜에너지를 보존력 식에 대입하면, (보존력의 특성을 지닌) 전기적 인력 또는 반발력 식을 얻을 수 있다.

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