[G. Chem] 20. 마델룽 상수(Madelung Constant)

​

Madelung constant는 이온결합의 lattice energy 크기를 결정하는 중요한 인자이고, 1차원 NaCl 이온결합물의 Madelung constant는 다음과 같이 구할 수 있다.

​

그림 1. NaCl linear chain

​

[1] x=0인 지점에 sodium 이온이 위치해 있고, r_0만큼 떨어진 양 지점에 Cl 이온이 위치해 있다.

- r_0는 x=0에서의 소듐을 기준으로 가장 가까운 곳(nearest)으로 이곳에 위치한 이온을 nearest neighbors라고 한다.

- nearest neighbors를 가리켜, Na+의 첫 번째 이온껍질(first shell)이라고 한다.

- 두 개의 Cl이온은 음이온이고, 양이온인 Na+과 두 Cl-이온 간의 상호작용을 고려한 (이곳에서의) 격자에너지는 다음과 같이 계산된다.

- 첫 번째 항은 왼쪽 chloride ion에 관한 격자에너지, 두 번째 항은 오른쪽 chloride ion에 관한 격자에너지 값이며, 둘은 potential energy로 서로 대수적으로 합쳐질 수 있다.

​

[2] second shell: Na+에 가장 인접한 Cl-은 정전기적 인력을 나타내지만 그 다음으로 가까운(2r_0) Na+는 x=0에 위치한 Na+에 반발력으로 작용한다.

[3] third shell: 세 번째로 인접한 Cl-은 다시 정전기적 인력을 만든다.

[4] 위에서 제시된 각 shell에 관한 식은 그 위치에서의 potential energy 수치로, 계의 종합적인 격자에너지는 각 shell의 potential energy를 모두 더함으로써 구할 수 있다.

​

[5] [4]에서 구한 마지막 식의 끝항을 Maclaurin expansion을 활용해 요약할 수 있다.

​

Maclaurin expansion

그림 2. Maclaurin Series의 대표적인 식들

​

therefore,

​

[6] Maclaurin expansion을 통해 E식을 다음과 같이 고쳐쓸 수 있다.

- 2ln2가 1차원 상의 NaCl의 마델룽상수이다.

- 마델룽 상수는 geometrical factor에 큰 영향을 받으므로 같은 이온들이라도 그 결합의 형태에 따라 값은 매우 크게 달라질 수 있다.

​

​

3차원 상에서의 대표적인 Madelung constant

격자의 형태에 따른 대표적인 M값은 다음과 같은 표로 정리된다.

- A:C는 양이온/음이온 배위수를 나타낸다.

​

​

#화학 #일반화학 #이온결합 #마델룽상수 #MadelungConstant #마델룽상수의수학적정의 #테일러급수 #TaylorSeries #MaclaurinExpansion