【미분적분학 노트】 01. 함수에 관하여 (feat. 수학과 물리학에서의 함수 개념의 차이, 소각근사(small-angle approximation))

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함수란 무엇인가

What is a Function?

 

함수(函數, function): 일반적으로 함수란 한 변수 입력값(input)이 정해지면 다른 변수 출력값(output)이 하나로 정해지는 대응 관계 또는 그 수로 정의한다.

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어떤 집합 X, Y에 대해 함수 f란, [그림 1]과 같이 만족하는 대응관계로 정의한다.

 

그림 1. 함수 f(x)의 도식적 정의 [출처: Wikipedia, "함수"]

 

• 집합 X와 집합 Y에 대한 임의의 원소(element)는 x와 y 꼴로 표시한다. 원소 x는 집합 X에 속하고, 원소 y는 집합 Y에 속한다.
• 임의의 원소 x에 대해 그에 대응하는 원소 y가 유일하게 존재한다.
• 집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이다.
• 함수값(value of function): 원소 x에 대응하는 원소 y를 함수값 또는 상(image)이라 한다. 이때 함수값은 둘의 함수 관계를 나타내므로 y=f(x)로도 표기한다.
• 치역(range): 모든 함수값을 모은 집합으로 [그림 1]에서는 노란색 원으로 나타났다.

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특히 함수에서 우리가 관심있는 대상은 정의역과 치역[그림 2] 구간이다.

 

그림 2. 그래프 상에서 정의역과 치역

 

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그림 3. 함수 f에 의한 input과 output [출처: Wikipedia, "함수"]

 

 

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즉, 함수 f란 domain영역의 원소 x를 codomain에 있는 원소 y에 유일하게 대응시키는 규칙 또는 도식[그림 3]을 뜻한다.

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수학에서의 함수

수학에서의 함수란, 집합 사이의 논리적이고 엄밀한 대응관계를 다루는 것에 집중한다. 그래서 함수의 종류를 크게 3가지로 구분한다.

1. 단사함수[그림 4]: 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소에 일대일(一對一, one-to-one)로 대응시킨 함수
2. 전사함수: 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 원소에 대응시킨 함수로 [그림 5]와 같이 일대다의 관계가 형성될 수 있다. codomain과 range가 서로 같은 것이 특징이다.
3. 전단사함수: 정의역의 서로 다른 원소가 공역의 서로 다른 원소에 일대일로 완벽하게 대응된 함수로 단사함수와 달리 두 집합 X와 Y의 크기 또한 같은 것[그림 6]이 특징이다.

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즉, 수학적인 관점에서 함수는 집합 내의 원소들 간의 논리적 구조 자체를 규명하는 데 집중한다.

그림 4. 단사함수 [출처: Wikipedia, "단사 함수"]

 

그림 5. 전사함수 [출처: Wikipedia, "전사함수"]

 

그림 6. 전단사함수 [출처: Wikipedia, "전단사 함수"]

 

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물리학에서의 함수

물리학은 실제 세계에 존재하는 측정가능한 물리량(시간, 위치, 에너지 등) 간의 인과관계를 설명하기 위해 함수의 개념을 도입했다. 따라서 물리학적 현상의 완벽한 측정이 존재하지 않는 한 현상에 대한 예측과 근사를 매우 중요시하게 되었다.

• 물리학에서 집합의 원소가 되는 물리량은 특정 조건 하에서의 근사적 함수식을 자주 활용한다. e.g. 소각근사(small-angle approximation)
• 수학에서의 함수 종류와 밀접한 물리학에서의 함수는 일반적으로 단사 함수의 특징을 갖는다. 단, 특정한 실험 조건에서는 전단사 함수의 관계성 또한 유도할 수 있다.

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수학과 물리학은 탐구 대상이 다르므로 그 관계성을 유도하는 함수의 개념 또한 다르다. 이와 관련한 개념 차이는 아래 표와 같이 정리할 수 있다.

 

​	수학에서의 함수	물리학에서의 함수
탐구대상	추상적 개념(수)	측정가능한 물리량(시간, 위치, 에너지 등)
목적	집합과 원소 사이의 엄밀한 대응관계 규명	실제 세계에 존재하는 측정가능한 물리량 간의 인과관계
특징	대응관계에 따른 다양한 함수 형태 구분(단사, 전사, 전단사)	현상에 대한 예측을 위한 근사적 식(소각근사 등) 허용 ⇒ 수학에서는 엄밀성과 정합성으로 인해 불허(不許)

 

두 학문에서의 함수의 개념 차이는 수학은 '형식과학'인 반면 물리학은 '자연과학'인 것에서 비롯된 차이이다.

• 형식과학(formal science): 추상적 대상과 인간의 논리사고를 기반으로 여러 가지 규칙을 고찰하는 과학의 한 분야
• 자연과학(natural science): 실제 세계에 존재하는 대상과 인간의 경험을 기반으로 여러 가지 규칙을 고찰하는 과학의 한 분야

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표 1. 갈릴레오의 실험 데이터

 

이탈리아의 물리학자이자 천문학자였던 갈릴레오(Galileo Galilei, 1564-1642)는 물체가 떨어지는 거리가 시간의 제곱에 비례한다는 사실[표 1]을 수치적 함수 관계와 비슷한 논리로 발견했다.

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소각근사

물리학에서는 각도가 극도로 작은 상황에 대해 삼각함수의 값을 단순화하여 계산하기 위해 소각근사 기법을 활용한다.

삼각함수 sinθ는 테일러 전개로 표현할 때,

식으로 표현할 수 있는데, 여기서 θ 값이 극도로 작으면 θ^3, θ^5와 같은 항들 전체를 무시할 수 있기 때문에 결국 sinθ를 θ로 근사할 수 있다.