【미분적분학 노트】 03. 접선과 순간변화율

 

접선

Tangent Line

 

그림 1. 할선(secant line)과 접선(tangent line)

 

선형모델에서 선형함수는 직선으로 표현되며, 기울기 m은 항상 일정했다. 하지만 [그림 1]과 같이 f(x)=x^2의 그래프를 그리면 비선형(non-linear)성이 나타나고, 더 이상 기울기는 일치하지 않게 된다. 즉, 비선형 그래프에서는 특정한 지점(구간)에 따라 기울기인 m의 크기가 매번 다르고, 이때의 기울기 m을 구하기 위해서는 관심 구간인 Δx의 값을 좁혀야만 한다.

• 할선(secant): 곡선을 한 번 이상 만나는 직선으로, 두 점을 잡고 지나는 선으로 나타난다. ⇒ 할선의 기울기를 구하는 식을 통해 접선 기울기를 추론할 수 있다.
• secant는 [그림 1]에서 두 점을 지나는 반면, 접선(tangent)은 비선형인 함수 곡선에서 서로 접하는 구역인 접점을 지난다.
• 할선의 두 점을 P, Q라 했을 때, P점을 고정시킨 뒤 Q점을 P점에 가깝게 나타낼수록 기울기는 어떠한 특정한 한 값을 향한다. ⇒ 이때의 경향성을 접선의 기울기라 하고, 수학적으로는 할선의 기울기 극한(極限, limit)으로 정의한다.

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그림 2. tangent line 구하기

 

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[그림 2]와 같이 Δx를 좁힐수록 그 구간에서의 기울기와 함수 그래프 모양은 점점 더 정확해진다.

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그림 3. 두 점 P, Q와 점 P로의 점 Q의 접근(approaching)

 

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예를 들어, [그림 3]과 같이 점 P와 Q의 좌표가 각각 다음과 같다고 하자.

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[1] 첫 번째 그림

점 P와 Q의 좌표는 다음과 같다.

따라서 기울기 m은 다음과 같이 구한다.

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[2] 두 번째 그림

점 P와 Q의 좌표는 다음과 같다.

따라서 기울기 m은 다음과 같이 구한다.

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[3] 세 번째 그림

점 P와 Q의 좌표는 다음과 같다.

따라서 기울기 m은 다음과 같이 구한다.

 

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나아가, 점 Q를 점 P에 매우 근접하게 두고 m을 계속 계산하면 이는 어떤 한 값(1.6)으로 수렴한다.

 

​	P(x, y)	Q(x, y)	m
1	(0.8., 0.64)	(0.8., 0.6561)	1.61
2	(0.8., 0.64)	(0.8., 0.641601)	1.601
3	(0.8., 0.64)	(0.8., 0.64016001)	1.6001

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위와 같이 두 점 P, Q가 서로 더 가까이 접근할수록 (1)이 할선의 기울기 m은 어떤 한 값에 수렴하며, (2)이는 접선의 기울기 크기와 매우 유사해진다.

 

순간 변화율

Rate Change of a Function at a Specific Point

 

우리는 물리학적 의미로서의 함수를 다음과 같이 정리했다.

1. 물리학에서의 함수 관계는 실제 세계에 존재하는 측정가능한 물리량(시간, 위치, 에너지 등) 간의 인과관계를 설명한다. 그리고 이를 그린 함수 그래프는 도식적으로 인과관계를 나타낸다.
2. 물리학에서 집합의 원소가 되는 물리량은 특정 조건 하에서 근사적 함수식을 갖는다.

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이에 따라 함수의 변화율(rate of change of a function)은 다음과 같이 정의된다.

그림 4. 구간 상 함수의 변화율

 

 

현(chord): [그림 4]와 같이 점 A와 B를 연결한 직선 또는 곡선, chord는 함수의 종류에 따라 그 형태가 천차만별이며, 구간을 어떻게 설정하느냐에 따라 변화율은 극도로 달라진다.

함수의 변화율: chord의 기울기 정도로 할선의 기울기 m과 개념적으로 정확히 일치한다.

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함수의 변화율을 구하기 위해 기울기 공식을 활용하면 [그림 4]의 함수 변화율은 아래와 같은 식으로 나타난다.

 

 

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그림 5. 특정한 지점 A에서 함수의 변화율을 구하는 방법

 

 

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순간변화율과 접선 공식

함수의 변화율을 이해하면, 순간의 변화율도 매우 쉽게 이해할 수 있다. [그림 5]와 같이 생긴 함수 그래프에서 특정한 지점에서의 함수 변화율을 알고 싶을 때 우리는 점 A를 고정한 채 점 B를 A로 '접근'시키는 방식으로 그 값을 구할 수 있는데, 결과적으로 이는 구간 Δt를 줄이는 것과도 같다. 그리고 이는 놀랍게도 접선의 기울기를 구하는 것과도 일치한다.

• chord 위의 점 A에서의 함수 변화율은 점 A에서의 함수의 접선 기울기와 같다.

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​	조건	기울기 m	의미
할선(secant)	chord에서의 두 지점 P, Q의 좌표정보	Δy/Δx	두 지점 사이의 평균 변화율
접선(tangent)	chord에서의 두 지점 P, Q 좌표이동 점 P는 고정 점 Q는 점 P를 향해 접근	아래 공식 참고	어떤 지점에서의 순간 변화율

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그림 6. tangent 공식에서의 변수

 

 

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접선의 공식을 유도하기 위해 점 P의 좌표를 P(a, f(a))라 하고, 점 Q의 좌표는 x축으로부터 h만큼 떨어진 Q(a+h, f(a+h))로 둘 수 있다.

• a: 점 P의 x축 좌표 크기
• h: 점 P에서 Q까지의 x축으로의 이동거리

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이를 할선의 기울기 식에 대입하면 다음과 같다

 

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이제 접선의 기울기를 구하기 위해 점 P는 고정시킨 채 점 Q를 P를 향해 접근한다고 하자. 그러면 자연스럽게 h의 값은 점점 줄어들게 되는데, 이를 극도로 가깝게 만들면 아래와 같은 기호로 쓸 수 있을 것이다.

 

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위와 같이 x축으로의 (이동)거리가 0에 가까워질수록 두 점은 서로 가깝게 있다는 것을 뜻하고 이를 식으로 쓰면 아래와 같다.

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접선

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