【미분적분학 노트】 05. 도함수 찾기 (feat. 이전 개념 복습)

복습: 접선에서 극한까지

Review: From Tangent Lines to Limits

 

지금까지 우리는 '미분'을 학습하기 위해 다양한 개념들을 배워왔다. 아래는 이때까지 배운 수학적 개념의 요약본으로 챕터 1에서 4까지의 핵심적인 내용들을 담고 있다.

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1. 함수: 집합 사이의 논리적이고 엄밀한 대응관계로 실제 세계를 다룰 때는 예측과 근사 또한 매우 중요하게 고려된다.
2. 함수 그래프: [그림 1]과 같이 정의역에 따라 치역이 결정되어 xy평면에 직선 또는 곡선의 형태가 나타나는 그래프

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그림 1

 

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3. 기울기: x의 변화량에 따른 y의 변화량으로 공식은 아래와 같다.

두 점 P(x_1, y_1)와 Q(x_2, y_2)가 주어졌을 때, 기울기의 공식은 다음과 같이 풀어쓸 수 있다.

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4. 할선(secant line): 함수의 그래프가 직선 또는 곡선일 때 두 점을 잡고 지나는 직선, 할선의 기울기 m_sec는 위의 기울기 공식과 정확히 일치한다.

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만약 함수 f(x)의 그래프 상에서 점 P를 (a, f(a))로 잡고 점 Q를 (x, f(x))라 두었을 때, 이것의 할선 기울기(slope of secant line)[그림 2]는 다음과 같이 계산할 수 있다.

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그림 2. 할선의 기울기 [출처: Openstax University Physics Vol 1 (Ling et al, 1st ed., 2017, p.126)]

 

할선의 기울기 | Slope of Secant Line

 

 

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5. 접선(tangent line): 함수의 그래프에서 곡선 위의 한 지점에 접하는 직선

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접선의 기울기 m는 할선 기울기와 마찬가지로 임의의 두 점 P(a, f(a)), Q(a+h, f(a+h))[그림 3]를 두는 것에서 출발하는 데, 접선의 정의에 따라 두 점은 결국 곡선 위의 한 지점에 직선이 놓여야 하므로, 점 P는 고정한 채 점 Q를 (증분값 h만큼) 이동시키는 것으로 계산한다.

• h: 증분값

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그림 3 [출처: Openstax University Physics Vol 1 (Ling et al, 1st ed., 2017, p.216)]

 

 

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할선의 기울기 개념을 적용한 접선의 차분 몫(difference quotient)은 다음과 같다.

• 접선의 차분몫은 m_tan 또는 m으로 쓴다.

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6. 함수의 극한(limit of a function): 어떤 함수 f(x)에서 x가 특정한 값 a에 가까워 질 때, f(x)가 어떤 값 L에 가까워진다면 다음과 같이 식을 표현할 수 있다.

• 함수 f(x)에서 x가 a가 아니면서 한없이 a에 가까워질 때 f(x)가 한없이 L에 가까워지면 위의 식을 따른다. (2022 개정 교육과정 교과 「미적분 Ⅰ」)

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위의 함수 극한 정의를 활용해 접선의 차분 몫을 아래와 같이 '확장'할 수 있다.

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[그림 4]와 같이 두 점 P, Q를 무한히 가까이 놓으면 증분값인 h는 0에 근사한다. ⇒ 점 Q가 P에 가까워지면 h→0이라 할 수 있다.

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접선의 기울기 | Slope of Tangent Line

 

 

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그림 4. 접선의 기울기 [출처: Openstax University Physics Vol 1 (Ling et al, 1st ed., 2017, p.216)]

 

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미분에 관한 접근: 도함수

Approach to Differentiation: Derivatives

 

그림 5

 

[그림 5]와 같이 주어진 함수 그래프로부터 변화(변화량)를 아래와 같이 정리할 수 있다.

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• 0~5초: 변화율 없음
• 5~7초: 우상향 변화, y의 변화율은 양의 값을 가짐
• 7~8초: 우상향 변화, 5~7초보다 더욱 급변함
• 8~9초: 우하향 변화, y의 변화율은 음의 값을 가짐
• 9~12초: 우하향 변화, 8~9초보다 완만하게 변화함

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위의 변화량은 (1)두 점에 대해서는 평균 변화율이며, (2)한 점(P)을 향해 다른 점(Q)이 다가갈수록 이는 순간 변화율에 가까워진다. ⇒ 함수의 극한 개념을 사용하면, 순간 변화율은 접선의 차분몫에 극한을 취한 접선의 기울기와 같아진다.

1. 평균 변화율 = 할선의 기울기
2. 순간 변화율 = 접선의 기울기

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그림 6. 순간 변화율 = 접선의 기울기 = 도함

 

 

[그림 6]은 평균 변화율로부터 순간 변화율을 구하는 과정을 도식화 한 것인데, 여기서 초록색 선은 기울기를 포함한 도함수(derivative)이다.

• 도함수(derivative): 어떤 함수를 미분함으로써 얻는 새로운 함수로 (1)접선의 기울기(순간 변화량)를 포함하며, (2)특정한 지점 x=a가 설정되면 이것의 도함수를 미분계수라고도 한다. (3)나아가 도함수란 결국 미분함으로써 얻은 결과이기 때문에 미분값으로도 자주 불린다.

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참고로 미분과 관련된 영문 단어들은 아래와 같이 의미가 통용된다.

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• differentiate: (동사) 미분하다, 도함수를 얻는 일련의 과정(들) 또는 계산 수행을 의미한다.
• differentiation: (동명사) 미분함, 도함수를 얻기 위한 연산과정을 의미한다.
• derivative: (명사) 도함수를 지칭하는 단어로 정의역의 특정 원소를 어떤 함수의 해당 원소에서의 순간변화율로 대응한 함수를 의미한다.

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도함수 찾기 | Finding a Derivative

 

그림 7

 

예를 들어, [그림 7]과 같이 f(x)=x^2인 그래프에서 점 P에서의 도함수를 구한다고 하자. 점 P의 좌표는 (x, f(x))이고, 점 Q의 좌표는 (x+h, f(x+h))이다. 특히, 점 Q는 P에서 'x축 방향으로 h만큼 이동 가능'하다.

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1. derivative는 도함수를 의미하고, 그 식은 아래와 같다.

• 도함수는 f'(x)로 표기하고 영문으로는 derivative of f라 부른다.
• f'(x)의 값은 기하학적으로 점 (x, f'(x))에서 f의 그래프에 접하는 접선의 기울기이다. 또한 이는 새로운 함수로 정의된다.
• f'(x)의 정의역은 f의 정의역보다 크지 않다.

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2. differentiation: 도함수를 얻기 위한 일련의 연산 과정 ⇒ 어떤 함수의 도함수를 얻기 위해서는 그 함수를 differentiate해야(미분해야) 한다.