【미분적분학 노트】 02. 선형함수와 기울기 (feat. 킬링(Keeling) 곡선)

 

함수의 종류

Types of Functions

 

앞선 챕터에서 함수의 일반적인 성질을 공부했으므로, 이제는 특정한 종류의 함수들을 알아보도록 하자. 함수 중 실세계를 표현하는 실함수(real function)의 종류는 크게 4가지이다.

1. 선형함수(linear function): y가 x의 일차식으로 나타날 때, y=ax+b 꼴인 함수
2. 다항함수(polynomial function): 다항식으로 표현되는 함수
3. 거듭제곱 함수(power function): 함수 형태가 f(x)=x^a (단, a∈R이다.) 꼴인 함수
4. 이산함수(discrete function): 함숫값의 집합이 연속이 아닌 함수

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선형모델

함수 중 xy-평면 그래프로 그렸을 때 선형으로 나타나는 함수를 선형함수라 하고 이는 직선으로 표현된다.

• 선형함수는 직선으로 표현되며 y가 x의 1차함수이다.
• 선형함수는 직선방정식의 기울기-절편 형식으로 표현된다.

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선형함수

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<기호>

• a: 기울기(slope)
• b: y절편(intercept)

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그림 1. a=1, b=1인 선형함수

 

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기울기

[그림 1]과 같이 선형함수는 직선꼴을 가지며 기울기 a는 아래 수식을 따른다.

• 의미: 기울기 a는 x의 증가량에 대한 y의 증가량을 나타낸다. 예를 들어 같은 x의 증가량에 대해 y의 증가량이 커질수록 기울기는 가팔라진다[그림 2].

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기울기 a의 부호에 따라 세 가지의 경우가 존재한다.

1. 증가함수: a>0
2. 감소함수: a<0
3. 상수함수: a=0[그림 3]

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그림 2. a=2.5, b=1인 선형함수

 

그림 3. a=0, b=1인 선형함수

 

y절편

y절편 b는 그래프에서 y축과 만나는 지점으로 y=f(x=0)=b로 표현할 수 있다.

• x가 0이므로 a가 0이 되고, 따라서 b만 값을 갖는다.

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선형모델은 크게 다음과 같은 특징들을 갖는다.

1. 직선 그래프
2. 변화율이 일정하다. ⇒ domain에서의 변화율과 range의 변화율 비(ratio)가 기울기 a의 값으로 일정하다.
3. 두 점만 알면 그래프를 완벽하게 결정하고 그릴 수 있다.

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특히 세 번째 특징 때문에 자연계의 변화 데이터(data points)를 수학적으로 모델링할 때 선형모델을 자주 활용한다.

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직선그래프 식의 유도

그림 4

 

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[1] 기울기 구하기

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예를 들어 자연계로부터 두 점 (-4, 5)와 (11, -4)의 순수 데이터(raw data)가 측정되었을 때 기울기는 아래와 같이 쉽게 구할 수 있다.

기울기 m은 음수 값으로 감소함수 형태의 직선 그래프[그림 4]로 나타난다.

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[2] 접선 방정식 세우기 및 f(x)에 대한 식 정리

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다음 우리는 기울기 m을 가진 직선이 어떤 지점 (x, y)를 지날 때 접선의 방정식을 세울 수 있다.

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접선 방정식

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<기호>

• 어떤 지점 P를 알 때 P의 x, y 좌표값을 각각 P_x, P_y라 한다.

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접선 방정식을 활용해 지점 P=(11, -4) 지점에서의 방정식을 세우면,

 

 

으로 표현할 수 있다.

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마지막으로 이 식을 f(x)에 대해 정리하면,

 

 

이 된다.

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[3] y절편

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y절편을 구하기 위해서 f(x=0)를 취한다.

[그림 4] 직선 그래프에서 y절편은 13/5로 구해진다.

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킬링 곡선

Keeling Curve

 

그림 5. 킬링 커브 [출처: Britannica, "Keeling Curve"]

 

Charles D. Keeling, 1928-2005

 

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킬링 곡선(Keeling curve)은 1958년부터 지구의 대기 중 이산화탄소 양을 나타낸 그래프로 미국의 대기과학자 찰스 데이빗 킬링(Charles D. Keeling, 1928-2005)의 이름을 땄다. 하와이의 마우나 로아(Mauna Loa) 천문대에서 이산화농도의 측정하는데, 이를 차트로 표현한 것이 [그림 5]이다.

• x축: 시간 연단위
• y축: 이산화탄소 농도(단위: ppmv 또는 ppm) ⇒ 시료의 적외선 흡광도(infrared absorbance)를 부피 백만분율(ppmv) 단위의 이산화탄소 농도로 변환

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킬링 곡선의 대표적 이산화탄소 농도 값은 다음과 같다.

 

표 1. 연도별 이산화탄소 농도  [출처: Britannica, "Keeling Curve"]

 

 

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참고로 최초(1958년) 이산화탄소 측정값은 315[ppm]이었는데, 이는 x가 원점(0)인 순간 y절편 값이 315임을 뜻한다.

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그림 6. 1년 내 킬링 곡선의 주기성과 거시적 선형 함수 경향 [출처: Wikipedia, "킬링 곡선"]

 

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Keeling curve의 이산화탄소 농도는 크게 2가지의 주요한 특징을 갖는다.

1. 이산화탄소 농도를 연단위로 보았을 때 계절에 따라 주기성을 나타내는 데, [그림 6]의 seasonal variation에서 그 주기성은 파동형태로 나타난다. ⇒ 여름에 이산화탄소 농도가 최대치가 되었다가 가을에 그 농도가 같은 양만큼 감소함
2. 이산화탄소 농도를 매우 거시적(장기적)으로 관찰할 때, 이산화탄소 농도의 전체 증가량은 '비교적' 선형성을 보인다. 하지만 정확하게는 기울기 m이 계속 증가하는 비선형성 함수이다.

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Keeling curve에 따르면 이산화탄소의 농도는 매년 약 1.3에서 1.5[ppm]이 증가한다. 특히 1959년부터 1975년까지는 그 증가율이 매우 일정하므로 선형 근사가 가능하다.

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따라서, Keeling curve의 초기 15년간 기록은 선형함수 식으로 나타낼 수 있고, 이를 쓰면 아래와 같다.

 

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계절에 따른 변화 이유

Keeling curve의 선형성을 확대하면 계절에 따라 톱니모양 처럼 파동성을 지닌 것을 알 수 있고 그 이유는 대략 다음과 같다고 알려져 있다.

1. 봄부터 여름까지의 이산화탄소의 농도 감소는 봄부터 피기 시작하는 식물류의 광합성 영향이 크다.
2. 가을에서 겨울까지의 이산화탄소의 농도 증가는 기온 저하에 따른 광합성 속도 감소 및 일부 식물군의 사멸 등을 이유로 들 수 있다.

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