【미분적분학 노트】 04. 함수의 극한 (feat. 구간축소법과 미분)

 

극한 개념의 발전

History of the Concept of Limits

 

Euclid, fl. 300BC (좌) / Archimedes, c. 287 BC - c. 212 BC (우)

 

 

 

독일의 수학자 헤르만 헹켈(Hermann Hankel, 1839-1873)에 따르면, 현대적인 극한의 개념은 유클리드 원론 제10권 첫 번째 명제(X.1)에서 비롯되었으며, 이는 유클리드(Euclid, fl. 300BC)와 아르키메데스(Archimedes, c. 287 BC - c. 212 BC)의 소진법(method of exhaustion)에 기초가 된다.

 

두 개의 크기가 다른 양이 존재할 때, 더 큰 양에서 그 절반보다 더 큰 부분을 빼고, 남은 양에서도 다시 절반보다 더 큰 부분을 계속해서 빼면, 나머지 작은 양보다 더 작은 양(값)을 갖게 된다.

 

(원문)

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"Two unequal magnitudes being set out, if from the greater there is subtracted a magnitude greater than its half, and from that which is left a magnitude greater than its half, and if this process is repeated continually, then there will be left some magnitude less than the lesser magnitude set out."

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위는 원론에서 언급한 소진법에 의한 극한 값의 직관적인 해석이다.

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예를 들어 두 개의 양(magnitude)이 존재하고 하나는 큰 양(100), 하나는 작은 양(1)이라 가정하자. 큰 양 100에서 절반보다 큰 부분을 빼나간다고 할 때 절반보다 큰 부분을 60이라 가정하면 100-60에 40이 남는다. 다음 40에서 절반보다 큰 부분 25를 가정하면 40-25=15가 남는다. 남은 15에서 또 절반보다 큰 8을 가정하면 15-8=7이 남고 이런 식으로 계속하면 어느 순간 작은 양(1)보다 더 작은 값을 갖게될 것이다.

• 극한은 어떠한 작은 양 값보다도 더욱 작은 값을 가질 수 있다.
• 소진법은 무한히 위와 같은 방식으로 '반복 가능'하다.

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Gregoire de Saint-Vincent, 1584-1667

 

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이후 플란더스 지방의 수학자이자 예수회 성직자였던 그레고리우스(Gregoire de Saint-Vincent, 1584-1667)는 1647년 자신의 저서인 『Opus Geometricum』에서 처음으로 기하급수의 극한계(종점, terminus)를 언급한다.

 

극한계(terminus)란, 수열의 끝(종점)으로 그 끝은 어떠한 진행 형태로도 도달할 수 없으며, 그 진행이 무한히 계속된다 하더라도 마찬가지이다. 다만 그 진행은 주어진 어떤 선분 또는 일정한 거리보다도 더욱 가까이 그 끝에 접근할 수 있다.

『Opus Geometricum』

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(원문)

"The terminus is the end of the series, which none progression can reach, even not if she is continued in infinity, but which she can approach nearer than a given segment."

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그레고리우스가 언급한 극한계의 핵심적 의미는 다음과 같이 요약할 수 있다.

• 수열의 진행(progression)이란, 수열의 극한계에 계속 가까워질 수는 있지만 그 값에 실제로 도달하지는 않는 상황을 뜻한다.
• 현대적인 표현으로 이는 수열의 극한값에 임의로 가깝게 접근할 수는 있지만, 반드시 그 값을 포함하지 않음을 의미한다.

 

Bernard Bolzano, 1781-1848

 

 

현대적인 극한의 정의는 1817년 체코의 수학자 베르나르 볼차노(Bernard Bolzano, 1781-1848)가 고안했다. 그러나 그의 연구는 사후 30년이 지난 이후에 다른 수학자들에 알려졌는데, 이후 미분적분학 교과서에서 극한의 엄밀한 정의는 프랑스의 수학자 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857)와 독일의 수학자 칼 바이어슈트라스(Karl Weierstrass, 1815-1897) 등을 통해 발전된 개념으로 소개된다.

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Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857 (좌) / Karl Weierstrass, 1815-1897 (우)

 

 

 

 

특정한 지점에서의 변화율: 함수 그래프의 극한

Rate of Change at a Specific Point: Limits of a Function (Graph)

 

이전 챕터에서 우리는 함수의 변화율을 (1)현(chord)과 (2)접선의 기울기(slope of a tangent)로 학습했다. 지금부터는 임의의 점에 대한 실질적인 함수의 변화율을 극한 개념을 활용해 구해보자.

 

 

그림 1

 

 

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[그림 1]의 함수는 다음 식으로 표현된다.

 

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그리고 구간 [3,4]에서 변화율을 다음과 같이 구할 수 있다.

 

 

마찬가지로, 어떤 특정한 점에서의 함수의 변화율을 구하기 위해서는 그 점에 최대한 근접한 구간의 기울기를 구함으로써 풀 수 있다. 따라서 그 구간을 [3,3.1], [3, 3.01]... 로 계속 줄여나가면 된다.

 

 

구간에서의 평균 변화율을 계속 계산하다보면 18로 다가가는 경향성을 확인할 수 있다.

 

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구간축소법 | Shrinking Interval Method(SIM)

 

위 문제는 구간축소법(Shrinking Interval Method, SIM)이라는 기법을 소개하는 대표 예제로, 어떤 특정한 점에서의 함수의 기울기를 구하기에 매우 직관적인 형태를 갖는다.

• x축의 특정 구간의 축소를 하지만 그 구간 자체가 어떠한 한 점으로 완전하게 일치하지 않음에 유의한다. 즉, 구간의 길이는 아무리 줄이더라도 그 길이가 미소하게라도 존재함을 가정한다. ⇒ 소진법 참고
• 가장 작은 미소 구간 또는 그 두 구간 지점의 차이를 증분(increment)이라 하고, 기호로는 δx로 표기한다.

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구간의 increment를 도입한 후 x=3에서 f(x)=3x^2+2의 변화율을 구해보자.

 

 

특정한 지점의 기울기는 (1)x축의 특정 구간(δx)의 최대한 축소를 통해 구해지며, 극한의 정의를 빌리자면 (2)δx값이 0에 가까워질수록 그 기울기 값은 정확해지기 때문에, δx를 0이라 가정하여,

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로 최종 계산할 수 있다.

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극한의 정의

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<기호>

• x: 특정 값에 가까워지는 변수
• a: 변수가 접근하려는 값
• f(x): 함수
• L: 함수값이 가까워지는 값(극한값)

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<의미>

• x가 a를 향해 무한히 가까워질 때(진행할 때), 함수값이 L에 가까워진다.

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SIM에서 구간축소란, 결국 y축의 어떠한 특정한 점 극한값 L을 구하기 위해 x축의 주어진 구간을 최대한 줄이는 과정이다.

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SIM기법을 활용한 일반적인 한 지점에서의 변화율

그림 2

 

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x에 관한 함수 y=f(x)에서, 일반적인 지점 x에 대한 y의 변화율을 계산하고자 한다.

• 구간 [x,x+δx]에서 y의 변화량은 y(x+δx)-y(x)이다. 또한 x축의 구간 길이는 (x+δx)-x다.
• 평균변화율은 Δy/Δx이므로 이를 적용하면 다음과 같이 식이 전개된다.

 

 

특별히, δy가 계산된 배경[그림 2]에 주목하자.

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SIM에서 특정한 지점의 기울기는 결국 δx→0일 때 가장 근사치로 계산되어지므로,

 

 

로 표현이 가능하다.

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SIM에 따른 미분의 정의

 

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