【미분적분학 노트】 32. 속도 적분을 통한 위치, 변위, 이동거리 구하기

운동학과 위치

Kinematics and Position

물리학을 비롯한 기초 과학은 어떤 대상의 변화를 가장 먼저 다루며, 이는 운동학(運動學, kinematics)이라는 물리학의 하위분야에서 매우 상세히 다루어진다. 운동을 이해하기 위해 시간과 공간의 개념을 활용한다. 그리고 미적분학에서 운동학은 크게 아래와 같은 내용들을 다룬다.

1. 직선 상에서 물체의 위치와 이동거리
2. 평면 상에서 물체가 움직인 거리
3. 곡선 길이

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운동학은 기하학적인 문제가 많아 운동기하학이라고도 불린다. (Russell, 2009) 단, 여기서 유의할 점은 운동학에서는 물체의 운동 변화를 야기하는 힘의 요소는 다루지 않는다는 사실이다. 또한 미적분학에서의 운동학은 (운동) 대상의 질량 또는 부피(체적) 또한 고려하지 않는다. ⇒ 물체의 질점 P가 이동한 것에만 관심을 갖는다.

cf. 물리학에서 운동학을 탐구할 때 물체를 입자(particle)로 간주하는 데, 입자의 특징으로 (1)질량만 존재할 뿐, (2)크기와 부피는 존재하지 않으며, (3)물리적인 변형도 될 수 없음을 전제한다.​​

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위치 | Position

질점이 x축에 놓였을 때, 좌표계의 원점으로부터의 떨어진 x만큼을 위치라 한다.

• 절대위치: 좌표계에서 특정한 고도와 경도 쌍을 사용해 지정된 지점
• 상대위치: 어떤 다른 지점으로부터 떨어진 정도를 나타낸 지점

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운동학에서 질점은 어떠한 위치로부터 다른 위치로의 '이동'이 가능하며, 이로 인해 (1)위치 변화량과 (2)이동거리가 발생한다.

• 위치 변화량: 변위, 질점의 위치 변화에 있어 운동방향을 고려한 알짜(net) 변화량
• 이동거리: 총 이동거리, 질점의 위치 변화에 있어 운동방향을 고려하지 않은 총(total) 합

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예를 들어 10km/1hour로 1시간 동안 트레드밀에서 달렸다고 할 때, 이 사람의 총 이동거리는 10km이지만, 위치 변화량은 0km이다.

 

속도 값으로 위치 변화량(변위)과 이동거리 구하기

Calculation of Displacement and Distance Traveled using Velocity

 

위치변화량과 이동거리를 각각 이동이 발생한 시간 간격만큼 나누면 각각 속도와 속력이 유도된다.

• 속도: 위치 변화량을 일어난 시간 간격으로 나눈 값
• 속력: 이동거리를 일어난 시간 간격으로 나눈 값, 속도의 절댓값으로 계산한다.

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만약 수직선 위를 움직이는 대상을 점 P라 했을 때, 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하고, 시간 t=a에서 점 P의 위치가 x_0일 때,

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속도는 특정한 시간 간격 동안 위치의 변화량이므로,

과 같고 이를 시간에 대해 양변을 적분하면,

로 계산된다. 여기서 b는 t=b인 시점을 뜻한다.

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시각 t에서의 점 P의 위치

 

 

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<의미>

• x_0: 출발점의 위치
• v(t): 시각 t에서의 물체의 속도
• x: 시각 t에서의 점의 위치로 x(t)로도 표현 가능하다.

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시각 t에서의 점 P의 위치는 출발점에서의 최초 위치와 변위를 모두 고려하므로, 질점 P의 최종 위치(final position)라고도 할 수 있다.

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또한 시각 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치가 변화하면, 그 위치의 변화량을 구할 수 있는데 이것이 바로 위의 식에서 우변항의 두 번째 항이다.

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시각 a에서 b까지의 점 P의 위치 변화량

 

 

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위치의 변화량에서 Δx는 아래와 같이 풀어쓸 수도 있다.

 

 

그리고 이것을 물리학에서는 변위(displacement)라 부른다.

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그림 1. 변위 [출처: 『University Physics Volume 1』, Samuel J. Ling et al., 2016, p.107)

 

 

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[그림 1]과 같이 시각 t에서의 점 P의 위치는 최종 위치(final position) x_f로 두어 displacement 식을 아래와 같이 쓸 수도 있다.

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변위 | Displacement

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한편, 점 P가 실제로 움직인 거리는 운동의 방향과 상관없이 실제로 움직인 거리의 총합을 뜻하는데 공식은 다음과 같다.

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점 P가 움직인 거리(총 이동거리)

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변위는 움직임의 운동 방향을 고려한다면, 총 이동거리는 운동방향과 상관없이 어떤 물체의 속도의 절댓값을 적분하여 구할 수 있다.

• 속도 함수에 절댓값을 취하면 모든 높이는 같은 크기의 양수 값으로 바뀐다.
• 속도의 절댓값은 물리학에서 속력(speed)이라 한다.

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예를 들어, 속도 v(t)=(t-1)e^t인 함수[그림 2]가 있다고 하자.

 

그림 2

 

속도 함수는 위와 같이 그려지는데, 만약 0초에서 1초 사이의 이동거리는 다음과 같이 구한다.

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이동거리

움직인 거리는 속도의 절댓값을 특정한 구간에 대해 적분한 값이다. 그리고 그 값은 [그림 2]와 같은 그래프에서 t축과 접하는 넓이와 같다.

위 속도함수에서 구간 [0, 1]의 그래프 넓이는 축 아래쪽에 위치하는데 이는 곧 '음'의 면적이다. 하지만 물체가 이동한 총 거리는 무조건 '양수' 값으로 표현되어야 한다. (최소 이동거리는 전혀 움직이지 않는 것으로 0 미만의 값을 가질 수 없다.) 이 때문에 v(t)함수에 절댓값을 붙여줌으로써 계산 결과가 양의 값이 되도록 조정한다.

• 수학에서 절댓값 안의 알맹이가 음수이면, 전체를 양수로 만들기 위해 앞에 (-)부호를 곱함으로써 음의 결과 값으로부터 탈출시킨다.

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위의 적분을 풀어주기 위해 부분적분법을 활용한다. ⇒ 로다삼지에 따라 1-t는 함수 u=f(t)로 e^tdt는 dv로 둔다.

위를 계산한 뒤 부분적분법 식,

에 대입하면, 아래와 같이 최종적으로 이동거리 값이 구해진다.

 

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위치 x 구하기

만약 위와 같은 속도함수를 갖는 물체의 위치 x를 구하려면, 시각 t에서의 점 P의 위치 식에 각 항의 값을 대입하면 된다.

t=0에서 위치는 x=0이므로, 시각 t점에서의 점 P 위치 공식은 다음과 같이 변할 것이다.

$x=0+\int _0^t\left(t-1\right)e^tdt$x=0+∫t0​(t−1)etdt​

마찬가지로 u, dv ⇒ du, v를 모두 계산해주면 부분적분법 식에 아래와 같이 대입된다.

위치 x는 위 식의 빨간 부분이다.

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지금까지 속도함수 v(t)를 적분함으로써, (1)위치, (2)위치변화량(변위), 그리고 (3)총 이동거리를 구함을 배웠는데, 핵심은 아래와 같이 정리할 수 있다.

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1. 어떤 시각 t에서의 점 P의 위치는 다음 식을 따른다.

 

2. 시각 [a, b] 구간에서의 위치 변화량은 변위라 하며, 이는 다음 식으로 푼다.

 

• 변위는 물체의 '속도'를 고려하는 데 이는 이동방향에 따라 양의 속도와 음의 속도로 나뉨으로 변위 또한 '알짜' 값이다.

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3. 시각 [a, b] 구간에서의 총 이동거리는 다음 식으로 푼다.

• 총 이동거리는 물체의 '속력'을 고려한다. 속력은 오로지 양의 값만 가지므로 총 이동거리 또한 항상 양수 값이다.
• 단, 물체의 운동방향이 변하지 않으면 변위(위치변화량)와 이동거리는 서로 같다.

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4. 속도 v(t)에 절댓값을 붙인 것을 속력 |v(t)|이라 하고 그래프 상에서 모든 크기는 축으로부터 양수 값을 갖는다.

• 단, 물체의 운동방향이 변하지 않으면 속도와 속력은 서로 같다.

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​	연산	결과	연산	결과
속도	적분 ∫	변위(이동방향고려)	+ 초기 위치 x_0 (출발 위치 더하기)	최종 위치 P
속력 (속도 절댓값)	적분 ∫	이동거리(이동방향고려X)	미분 d/dx	속력

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